Imaginäre Zahlen und imaginäre Einheit Fragen und Bemerkungen gerne an: werner.brefeld@web.de, Adresse: siehe Impressum, Themenübersicht auf der Hauptseite: Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben

9. Was ist das Ergebnis von Wurzel aus iⁱ, wenn i die imaginäre Einheit ist?

Man geht von der Eulerschen Identität aus:

e^i·φ = cos(φ) + i·sin(φ)

Für φ wird 90° = π/2 in die Gleichung eingesetzt:

e^i·π/2 = cos(π/2) + i·sin(π/2)

Nach Berechnung des Cosinus und Sinus ergibt sich:

e^i·π/2 = 0 + i·1 = i

Die Gleichung wird auf beiden Seiten mit i potenziert:

iⁱ = (e^i·π/2)ⁱ = e^i·i·π/2 = e^–π/2

Da e^–π/2 eine positive Zahl (0,20787958) darstellt, kann auf beiden Seiten die Wurzel gezogen werden:

√(iⁱ) = √(e^–π/2) = e^–π/4 = 0,45593813

Der Ausdruck √(iⁱ) beschreibt also keine imaginäre Zahl, sondern eine positive reelle Zahl. Ihr Wert beträgt ungefähr 0,45593813.

Was ist verblüffend an diesem Mathematik-Rätsel? Intuitiv glauben viele, dass diese Aufgabe nicht lösbar sei, weil (iⁱ) eine komplexe Zahl sei, aus der man keine Wurzel ziehen kann.


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