Reisezeiten mit einer globalen Magnetschwebebahn Fragen und Bemerkungen gerne an: werner.brefeld@web.de, Adresse: siehe Impressum, Themenübersicht auf der Hauptseite: Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben

Eine oberirdische Magnetschwebebahn (wie z.B. der Transrapid und der JR-Maglev) erreicht etwa eine Geschwindigkeit von 500 km/h.
Wegen der Luftreibung stößt eine deutliche Erhöhung dieser Geschwindigkeit schnell an Grenzen. Wesentlich höhere Geschwindigkeiten
ließen sich mit einer Magnetschwebebahn nur in einem Tunnel erreichen, der teilweise oder ganz evakuiert ist. So eine
Vakuum-Magnetschwebebahn (wie z.B. der in einer teilevakuierten Röhre geplante Hyperloop) wäre dann nur noch geringer oder keiner Luftreibung
mehr ausgesetzt. Bei vollständiger Evakuierung könnte eine einmal erreichte Geschwindigkeit antriebslos beibehalten werden. Wenn alle
technischen und sicherheitsrelevanten Probleme gelöst werden könnten, ließen sich mit einer Magnetschwebebahn im Vakuum Reisezeiten erreichen,
die alles deutlich unterbieten würden, was heute möglich ist. Es bliebe dann nur die Frage, welche Beschleunigung einem normalen Reisenden
zusätzlich zur Erdbeschleunigung g ( 9,81 m/sec² ) zugemutet werden könnte. Bei den folgenden Überlegungen wird angenommen,
dass sich die Gesamtbeschleunigung und damit das Gewicht der Passagiere nur um 10% erhöhen.

Die Passagiere spüren dann also eine Gesamtbeschleunigung von b₀ = 1,1 g. Sie bestimmt letztendlich die Reisezeit der Magnetschwebebahn.
Diese Gesamtbeschleunigung setzt sich zusammen aus der eben erwähnten Erdbeschleunigung und der dazu senkrecht stehenden Beschleunigung b₁,
die die Geschwindigkeit der Magnetschwebebahn erhöht oder später wieder verringert. Nach Pythagoras gilt dann die Gleichung: b₀² = g² + b₁².
Bei der Abfahrt beschleunigt die Magnetschwebebahn deshalb schon mit dem beachtlichen Wert von

b₁ = √(b₀² – g²) = √((1,1g)² – (1g)²) = 0,458 g

Die rasch steigende Geschwindigkeit führt wegen der gekrümmten Erdoberfläche zu einer nach oben wirkenden Fliehkraft (Zentrifugalkraft),
die der Schwerkraft entgegengesetzt ist. Das führt dazu, dass bei gleichbleibender Gesamtbeschleunigung für die Passagiere die Magnetschwebebahn
immer stärker beschleunigen kann. In dem Augenblick, in dem Fliehkraft und Schwerkraft gleich groß werden, würde die Magnetschwebebahn bei
ausgeschaltetem Antrieb schwerelos durch den Tunnel gleiten. Das ist nach etwa 18,52 Minuten und 3640 km bei einer Geschwindigkeit
von 28.470 km/h der Fall. Der Antrieb kann deshalb die Magnetschwebebahn jetzt mit dem maximalen Wert von

b₂ = 1,100 g

beschleunigen, ohne die Passagiere zu überlasten. Die rasant weiter steigende Geschwindigkeit führt zu einer weiteren Erhöhung der Fliehkraft,
die die Passagiere nach oben drückt. Die höchstmögliche Geschwindigkeit ist erreicht, wenn die Fliehkraft 2,1 mal so groß wie die Schwerkraft ist
und die Passagiere mit 1,1 g nach oben gedrückt werden. Es sind jetzt 26,74 Minuten vergangen und 8635 km zurückgelegt. Die Geschwindigkeit von nun
41.243 km/h darf nicht weiter steigen und die Beschleunigung beträgt somit

b₃ = 0,000 g.

Nach der Beschleunigungsphase muss die Magnetschwebebahn wieder auf die gleiche Weise abgebremst werden. Ist das Reiseziel mehr als zweimal 8635 km entfernt,
liegt zwischen der Beschleunigung und Abbremsung von jeweils 8635 km eine Strecke, auf der die Magnetschwebebahn mit konstanter maximaler Geschwindigkeit von
41.243 km/h fährt.

Damit die aus Antriebsbeschleunigung, Schwerkraft und Fliehkraft sich ergebende Gesamtkraft nicht als unangenehm empfunden wird, muss es in der Magnetschwebebahn
Sitze geben, die sich entsprechend der Richtung der Gesamtkraft so drehen, dass die Passagiere immer auf die gleiche Weise optimal in den Sitz gedrückt werden.
Bei maximaler Geschwindigkeit reisen die Passagiere in ihren Sitzen quasi „auf dem Kopf“.

In der folgenden Tabelle stehen Reisezeiten und maximale Geschwindigkeiten für verschiedene Reiseentfernungen, wobei ein mittlerer Erdradius von r = 6371 km
angenommen wird und die Magnetschwebebahn sich nur auf Großkreisen um die Erde bewegt, um Kurven und die damit verbundenen Querkräfte zu vermeiden.

Die letzte Tabelle enthält eine Reihe von konkreten Reisezielen mit den zugehörigen Reisezeiten und maximalen Geschwindigkeiten,
wobei Hamburg beispielhaft als Ausgangspunkt der Reise angenommen wurde.

Diese Reisezeiten stellen alles in den Schatten, was sich mit Flugzeugen erreichen ließe. Selbst Raumgleiter könnten da nicht mithalten,
da ihre maximale Geschwindigkeit in einer erdnahen Umlaufbahn auf etwa 28.000 km/h begrenzt ist.



Zum Schluss kommen noch einige Informationen zum mathematischen Hintergrund. Wie schon erwähnt, soll der Betrag der Gesamtbeschleunigung b₀
immer 1,1 g betragen. Er errechnet sich aus der Schwerebeschleunigung g, aus der entgegengesetzten Beschleunigung aufgrund der Fliehkraft und aus
der dazu senkrecht stehenden Vortriebsbeschleunigung b:

b₀² = b² + (g – v²/r)² , wobei b = dv/dt = v dv/dx ist.

Daraus lassen sich die beiden Differentialgleichungen

dt = dv / √(b₀² – (g – v²/r)²) und

dx = v dv / √(b₀² – (g – v²/r)²) ableiten.

Als Lösung der zweiten Differentialgleichung ergibt sich der Ausdruck

x = (r/2) · (arc sin(g/b₀) – arc sin((g·r – v²)/(b₀·r)))

oder, nach v aufgelöst:

v = √(g·r – b₀·r·sin(arc sin(g/b₀) – 2·x/r)).

Für verschiedene Strecken x bekommt man dann die zugehörige Endgeschwindigkeit v. Aus v lässt sich mit Hilfe der ersten Differentialgleichung
die benötigte Zeit t bestimmen. Allerdings lässt sich diese Gleichung nur numerisch integrieren. Zu Bestimmung von Reisestrecke und Reisezeit
müssen die entsprechenden Werte verdoppelt werden, da auf die Beschleunigungsphase spiegelbildlich die Abbremsphase folgt.

Erreicht die Zentrifugalbeschleunigung die Summe von Gesamtbeschleunigung und Schwerebeschleunigung, also 2,1 g, ist eine weitere
Beschleunigung nicht mehr möglich und die Bahn fährt mit konstanter maximaler Geschwindigkeit von

v_max = √(g·r + b₀·r) = 41.243 km/h.

Diese Geschwindigkeit wird nach einer Beschleunigungsstrecke von

x_max = (r/2) · (arc sin(g/b₀) + (π/2)) = 8635 km erreicht.

Beträgt die Reisestrecke mehr als das Doppelte, also mehr als 17.270 km, gibt es zwischen der Beschleunigungs- und Abbremsphase eine antriebslose Phase.



Es bleibt noch anzumerken, dass bei den obigen Überlegungen von einer kugelförmigen und nicht rotierenden Erde ausgegangen wurde und die Corioliskraft
deshalb nicht berücksichtigt worden ist. Sie steht senkrecht auf Antriebs-, Schwer- und Fliehkraft. Die zugehörige Coriolis-Beschleunigung b_c beträgt

b_c = 2 · v · ω · sin(φ),

wobei ω die Winkelgeschwindigkeit der Erde und φ der Winkel zwischen der Richtung von v und Erdachse ist. Bei v = 41 243 km/h
und φ = 90° wird b_c maximal und beträgt 0,170 g. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn die Magnetschwebebahn bei maximaler Geschwindigkeit
den Nordpol oder Südpol überquert.

Ebenso wurde nicht berücksichtigt, dass auf einer Strecke entlang des Äquators die maximal erlaubte Reisegeschwindigkeit geringer ist,
wenn sich die Magnetschwebebahn in Richtung der Erdrotation bewegt, weil sich die von der Erdrotation hervorgerufenen Fliehkraft zu der von der
Magnetschwebebahn erzeugten addiert. Andererseits erlaubt die von der Erdrotation erzeugte Fliehkraft zu Anfang eine höhere Beschleunigung,
weil sie der Gravitationskraft entgegen wirkt. Der letzte Effekt überwiegt und die Reisezeit um die halbe Erde wird durch die Erdrotation
um etwas mehr als eine Minute auf 56,41 Minuten verkürzt. Bei einer Reise entgegen der Erdrotation kehren sich natürlich alle Effekte um und
die Reisezeit um die halbe Erde verlängert sich auf 58,55 Minuten.


Copyright © Werner Brefeld (1999; Originalquelle)