Wahrscheinlichkeiten beim Poker

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Five Card Draw, Texas Hold’em und Omaha Hold’em

Diese Web-Seite soll nicht zum Pokern animieren. Vielmehr soll hier am Beispiel des Pokerns gezeigt werden, wie man bei Kartenspielen die Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Karten-Kombinationen (Kategorien) berechnet. Dabei zeigt sich, dass schon die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten, auf Anhieb eine bestimmte Kategorie zu erzielen, sehr kompliziert sein kann. Deshalb wurden auch 5 von den unten aufgeführten 22 Berechnungen ausschließlich mit einem Computer-Programm durchgeführt.

Beim Poker werden meistens n = 52 Karten mit k = 4 unterschiedlichen Farben verwendet. Beim inzwischen seltenen Five Card Draw wird das Blatt jedes Spieler direkt aus 5 Karten gebildet. Beim Texas Hold’em kann ein Spieler dagegen aus 7 Karten (5 offenen und 2 verdeckten) ein Blatt mit 5 Karten zusammenstellen. Und bei Omaha Hold’em kann ein Spieler sogar aus 9 Karten (5 offenen und 4 verdeckten) ein Blatt aus 5 Karten zusammenstellen, wobei allerdings genau 2 davon aus den 4 verdeckten Karten stammen müssen. Um die Wahrscheinlichkeiten W auszurechnen, auf Anhieb die aufgeführten Kategorien zu erzielen, ist es sinnvoll, zuerst die jeweils günstigen Möglichkeiten (Kombinationen) zu bestimmen und diese dann durch die Gesamtzahl der Kombinationen dividieren. Die Gesamtzahl der Kombinationen errechnen sich wie beim Lotto 6 aus 49. Nur werden hier nicht 6 aus 49 Kugeln, sondern 5, 7 oder 9 aus 52 Karten gezogen. Beim Five Card Draw ergibt sich deshalb eine Gesamtzahl von (⁵²₅) = 2.598.960 Kombinationen, beim Texas Hold’em sind es (⁵²₇) = 133.784.560 Kombinationen und bei Omaha Hold’em (⁵²₉) · (⁹₄) = 3.679.075.400 · 126 = 463.563.500.400 Kombinationen wegen der zusätzlichen Einschränkung für die verdeckten Karten. Daraus ergeben sich dann die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

Royal Flush (Straße in einer Farbe mit Ass als höchste Karte)

Wahrscheinlichkeit (Five Card Draw):
W = k / (ⁿ₅)
= 4 / (⁵²₅)
= 4 / 2.598.960 = 1 : 649.740 = 0,000154%

Für jede der 4 Farben gibt es einen Royal Flush. Für einen Royal Flush gibt es also 4 günstige Kombinationen.

Wahrscheinlichkeit (Texas Hold’em):
W = k · (^{n – 5}₂) / (ⁿ₇)
= 4 · (⁴⁷₂) / (⁵²₇)
= 4324 / 133.784.560 = 1 : 30.940 = 0,003232%

Es gibt 4 Royal Flushs. Dafür braucht man jeweils 5 Karten. Für die 7 – 5 = 2 übrigen Karten kommen dann noch 52 – 5 = 47 Karten infrage. Dafür gibt es
(⁴⁷₂) = 1081 Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also 4 · 1081 = 4324 günstige Kombinationen von insgesamt (⁵²₇) Kombinationen.

Wahrscheinlichkeit (Omaha Hold’em):
W = k · (^{n – 5}₂) · (⁵₂) · (⁴₂) / ((ⁿ₉) · (⁹₄))
= 4 · (⁴⁷₄) · (⁵₂) · (⁴₂) / ((⁵²₉) · (⁹₄))
= 42.807.600 / 463.563.500.400 = 1 : 10.829 = 0,009234%

Es gibt 4 Royal Flushs. Für die 4 übrigen Karten bleiben dann 47 Karten übrig. Dafür gibt es (⁴⁷₄) = 178.365 Möglichkeiten.
Zusätzlich gibt es (⁵₂) · (⁴₂) = 60 Kombinationen, dass sich unter den 4 verdeckten Karten 2 Royal-Flush-Karten und 2 andere Karten befinden.
Insgesamt gibt es also 4 · 178.365 · 60 = 42.807.600 günstige Kombinationen.

Straight Flush (Straße in einer Farbe)

Wahrscheinlichkeit (Five Card Draw):
W = (n/k – 4) · k / (ⁿ₅)
= 9 · 4 / (⁵²₅)
= 36 / 2.598.960 = 1 : 72.193,33 = 0,001385%

Für jede der 4 Farben gibt es 10 Straßen. Wegen der 4 Royal Flushs bleiben hier für jede der 4 Farben 9 Straight Flushs übrig.
Das ergibt 4 · 9 = 36 günstige Kombinationen.

Wahrscheinlichkeit (Texas Hold’em):
W = (n/k – 4) · k · (^{n – 6}₂) / (ⁿ₇)
= 9 · 4 · (⁴⁶₂) / (⁵²₇)
= 37.260 / 133.784.560 = 1 : 3590,568 = 0,027851%

Für jede der 4 Farben gibt es 9 Straight Flushs. Für die übrigen beiden Karten bleiben dann zunächst 47 Karten übrig.
Die Karte mit der gleichen Farbe wie der Straight Flush, deren Wert genau um 1 höher ist als der höchste Wert einer der Straight-Flush-Karten,
ist nicht möglich, weil sich sonst ein höherer Straight Flush oder gar ein Royal Flush ergäbe. Es bleiben also 46 Karten zur Auswahl.
Deshalb gibt es für die beiden übrigen Karten (⁴⁶₂) = 1035 Möglichkeiten.
Insgesamt gibt es hier also 9 · 4 · 1035 = 37.200 günstige Kombinationen.

Wahrscheinlichkeit (Omaha Hold’em):
W = 368.486.160 / 463.563.500.400 = 1 : 1258,02 = 0,079490%

Berechnung mit Hilfe eines Computer-Programms

Vierling (Four of a Kind) (Vier Karten mit gleichem Wert)

Wahrscheinlichkeit (Five Card Draw):
W = n/k · (^k₄) · (^{n/k – 1}₁) · k / (ⁿ₅)
= 13 · (⁴₄) · (¹²₁) · 4 / (⁵²₅)
= 624 / 2.598.960 = 1 : 4165 = 0,024010%

Es gibt 13 verschiedene Vierlinge. Für die fünfte Karte bleiben dann noch 12 Werte übrig,
die jeweils eine der 4 Farben besitzen können. Insgesamt gibt es hier also 13 · 12 · 4 = 624 günstige Kombinationen.

Wahrscheinlichkeit (Texas Hold’em):
W = n/k · (⁴₄) · (^{n – 4}₃) / (ⁿ₇)
= 13 · (⁴₄) · (⁴⁸₃) / (⁵²₇)
= 224.848 / 133.784.560 = 1 : 595 = 0,168067%

Es gibt 13 verschiedene Vierlinge. Dafür braucht man jeweils 4 Karten. Für die 7 – 4 = 3 übrigen Karten kommen dann noch 52 – 4 = 48 Karten infrage.
Dafür gibt es (⁴⁸₃) = 17.296 Möglichkeiten. Insgesamt gibt es hier also 13 · 17.296 = 224.848 günstige Kombinationen.

Full House (Ein Drilling und ein Zwilling)

Wahrscheinlichkeit (Five Card Draw):
W = n/k · (^k₃) · (n/k – 1) · (^k₂) / (ⁿ₅)
= 13 · (⁴₃) · 12 · (⁴₂) / (⁵²₅)
= 3744 / 2.598.960 = 1 : 694,167 = 0,144058%

Die Drillinge können 13 verschiedenen Werte haben. Für jeden Wert gibt es 4 verschiedene Drillinge.
Für die Zwillinge bleiben dann 12 verschiedene Werte übrig. Für jeden Wert gibt es dann (⁴₂) = 6 verschiedene Zwillinge.
Insgesamt gibt es hier also 13 · 4 · 12 · 6 = 3744 günstige Kombinationen.

Wahrscheinlichkeit (Texas Hold’em):
W = (n/k · (^k₃) · (n/k – 1) · (^k₂) · (^{n/k – 2}₂) · k² + n/k · (^k₃) · (^{n/k – 1}₂) · (^k₂) · (^k₂) + (^n/k₂) · (^k₃) · (^k₃) · (n/k – 2) · k) / (ⁿ₇)
= (13 · (⁴₃) · 12 · (⁴₂) · (¹¹₂) · 4² + 13 · (⁴₃) · (¹²₂) · (⁴₂) · (⁴₂) + (¹³₂) · (⁴₃) · (⁴₃) · 11 · 4) / (⁵²₇)
= 3.473.184 / 133.784.560 = 1 : 38,5193 = 2,596102%

Für die Drillinge gibt es 13 Werte und (⁴₃) = 4 mögliche Farb-Kombinationen. Für den Zwilling bleiben dann 12 Werte mit
(⁴₂) = 6 möglichen Farb-Kombinationen. Für die übrigen beiden Karten bleiben dann noch (¹¹₂) = 55 Werte-Kombinationen
mit je 4² = 16 Farb-Variationen. Zusätzlich zu einem Drilling kann es auch zwei Zwillinge geben.
Dafür gibt es dann (¹²₂) = 66 Werte-Kombinationen. Und für jeden Zwilling sind (⁴₂) = 6 Farb-Kombinationen möglich.
Schließlich sind auch zwei Drillinge möglich. Dafür gibt es (¹³₂) = 78 Werte-Kombinationen.
Und für jeden Drilling sind 4 Farb-Kombinationen möglich. Für die siebte Karte bleiben 11 Werte mit jeweils 4 Farben. Das sind insgesamt
13 · 4 · 12 · 6 · 55 · 16 + 13 · 4 · 66 · 6 · 6 + 78 · 4 · 4 · 11 · 4 = 3.294.720 + 123.552 + 54.912 = 3.473.184 günstige Kombinationen.

Flush (Fünf Karten in einer Farbe)

Wahrscheinlichkeit (Five Card Draw):
W = (^n/k₅) · k / (ⁿ₅) – W(Straight Flush) – W(Royal Flush)
= ((¹³₅) · 4 – 36 – 4) / (⁵²₅)
= 5108 / 2.598.960 = 1 : 508,802 = 0,196540%

für jede der 4 Farben gibt es (¹³₅) = 1287 Flushs. Wegen der 36 Straight Flushs und 4 Royal Flushs gibt
es hier deshalb 4 · 1287 – 40 = 5108 günstige Kombinationen.

Wahrscheinlichkeit (Texas Hold’em):
W = ((^n/k₅) · k · (^{n – 13}₂) + (^n/k₆) · k · (n – 13) + (^n/k₇) · k) / (ⁿ₇) – W(Straight Flush) – W(Royal Flush)
= ((¹³₅) · 4 · (³⁹₂) + (¹³₆) · 4 · 39 + (¹³₇) · 4 – 36 · (⁴⁶₂) – 4 · (⁴⁷₂)) / (⁵²₇)
= 4.047.644 / 133.784.560 = 1 : 33,0525 = 3,025494%

für jede der 4 Farben gibt es (¹³₅) = 1287 Möglichkeiten für 5 Karten gleicher Farbe, (¹³₆) = 1716 Möglichkeiten
für 6 Karten gleicher Farbe und (¹³₇) = 1716 Möglichkeiten für 7 Karten gleicher Farbe. Für die übrigen zwei, eine und null Karten
bleiben 39 Karten zur Auswahl übrig und es gibt (³⁹₂) = 741, (³⁹₁) = 39 und (³⁹₀) = 1 Möglichkeit.
Zusammen sind das zunächst 4 · (1287 · 741 + 1716 · 39 + 1716 · 1) = 4.089.228 Kombinationen.
Wenn man davon die 4324 günstigen Kombinationen für einen Royal Flush und die 37.260 günstigen Kombinationen
für einen Straight Flush abzieht, bleiben hier insgesamt 4.047.644 günstige Kombinationen übrig.

Straße (Straight) (Fünf Karten in einer Reihe)

Wahrscheinlichkeit (Five Card Draw):
W = (n/k – 3) · k⁵ / (ⁿ₅) – W(Straight Flush) – W(Royal Flush)
= (10 · 4⁵ – 36 – 4) / (⁵²₅)
= 10.200 / 2.598.960 = 1 : 254,8 = 0,392465%

Es gibt insgesamt 10 verschiedene Straßen in 4⁵ = 1024 Farb-Variationen. Wenn man dann von den
10 · 1024 = 10.240 Möglichkeiten die 36 Straight Flushs und die 4 Royal Flushs abzieht, bleiben 10.200 günstige Kombinationen übrig.

Wahrscheinlichkeit (Texas Hold’em):
W = 6.180.020 / 133.784.560 = 1 : 21,6479 = 4,619382%

Berechnung mit Hilfe eines Computer-Programms

Drilling (Three of a Kind) (Drei Karten mit gleichem Wert)

Wahrscheinlichkeit (Five Card Draw):
W = n/k · (^k₃) · (^{n/k – 1}₂) · k² / (ⁿ₅)
= 13 · (⁴₃) · (¹²₂) · 4² / (⁵²₅)
= 54.912 / 2.598.960 = 1 : 47,3295 = 2,112845%

Die Drillinge können 13 verschiedenen Werte haben. Für jeden Wert gibt es Drillinge in 4 verschiedenen Farben.
Für die beiden übrigen Karten bleiben dann 12 verschiedene Werte übrig. Dafür gibt es (¹²₂) = 66 Werte-Kombinationen.
Und für jede Werte-Kombination gibt es 4² = 16 Farb-Variationen.
Insgesamt gibt es hier also 13 · 4 · 66 · 16 = 54.912 günstige Kombinationen.

Wahrscheinlichkeit (Texas Hold’em):
W = 6.461.620 / 133.784.560 = 1 : 20,7045 = 4,829870%

Berechnung mit Hilfe eines Computer-Programms

Zwei Paare (Two Pairs) (Zwei Zwillinge)

Wahrscheinlichkeit (Five Card Draw):
W = (^n/k₂) · (^k₂) · (^k₂) · (^{n/4 – 2}₁) · 4 / (ⁿ₅)
= (¹³₂) · (⁴₂) · (⁴₂) · (¹¹₁) · 4 / (⁵²₅)
= 123.552 / 2.598.960 = 1 : 21,0354 = 4,753902%

Die beiden Zwillinge können jeweils einen von 13 verschiedenen Werten haben. Dafür gibt es
(¹³₂) = 78 Möglichkeiten. Für jeden der beiden Werte gibt es Zwillinge in (⁴₂) = 6 verschiedenen Farb-Kombinationen.
Für die fünfte Karte bleiben dann noch 11 Werte übrig, die jeweils eine der 4 Farben besitzen können.
Insgesamt gibt es hier also 78 · 6 · 6 · 11 · 4 = 123.552 günstige Kombinationen.

Wahrscheinlichkeit (Texas Hold’em):
W = 31.433.400 / 133.784.560 = 1 : 4,25613 = 23,495536%

Berechnung mit Hilfe eines Computer-Programms

Ein Paar (One Pair) (Ein Zwilling, zwei Karten mit gleichem Wert)

Wahrscheinlichkeit (Five Card Draw):
W = n/k · (^k₂) · (^{n/k – 1}₃) · 4³ / (ⁿ₅)
= 13 · (⁴₂) · (¹²₃) · 4³ / (⁵²₅)
= 1.098.240 / 2.598.960 = 1 : 2,36648 = 42,256903%

Der Zwilling kann einen von 13 verschiedenen Werten haben. Für jeden Wert gibt es Zwillinge in
(⁴₂) = 6 verschiedenen Farb-Kombinationen. Für die drei übrigen Karten bleiben dann noch 12 Werte übrig.
Daraus ergeben sich (¹²₃) = 220 Werte-Kombinationen, die jeweils 4³ = 64 Farb-Variationen besitzen können.
Insgesamt gibt es hier also 13 · 6 · 220 · 64 = 1.098.240 günstige Kombinationen.

Wahrscheinlichkeit (Texas Hold’em):
W = 58.627.800 / 133.784.560 = 1 : 2,28193 = 43,822546%

Berechnung mit Hilfe eines Computer-Programms

Höchste Karte (High Card) (Keine der bisherigen Kategorien)

Wahrscheinlichkeit (Five Card Draw):
W = ((^n/k₅) – (n/k – 3)) · (k⁵ – k) / (ⁿ₅)
=((¹³₅) – 10) · (4⁵ – 4) / (⁵²₅)
= 1.302.540 / 2.598.960 = 1 : 2,36648 = 50,117739%

Es gibt (¹³₅) = 1287 Werte-Kombinationen, aus 13 verschiedenen Werten 5 auszuwählen.
Darunter befinden sich 10 Straßen, die hier nicht zählen. Es bleiben 1277 Werte-Kombinationen übrig.
Für jede der verbleibenden 1277 Werte-Kombinationen gibt es 4⁵ = 1024 Farb-Variationen.
Darunter sind 4 Variationen, bei denen alle 5 Farben gleich sind. Da diese hier auch nicht zählen, bleiben 1020 Farb-Variationen übrig.
Das Produkt von 1020 und 1277 ist dann 1.302.540 und gibt die Anzahl der günstigen Kombinationen an.

Wahrscheinlichkeit (Texas Hold’em):
W = ((^n/k₇) – (6 · (⁴₀) + 2 · (⁵₀) + 7 · (⁵₁) + 2 · (⁶₁) + 8 · (⁶₂) + 2 · (⁷₂))) · (k⁷ – k · ((⁷₅) · 3² + (⁷₆) 3¹ + (⁷₇) · 3⁰)) / (ⁿ₇)
= ((¹³₇) – (6 · (⁴₀) + 2 · (⁵₀) + 7 · (⁵₁) + 2 · (⁶₁) + 8 · (⁶₂) + 2 · (⁷₂))) · (4⁷ – 4 · ((⁷₅) · 3² + (⁷₆) 3¹ + (⁷₇) · 3⁰)) / (⁵²₇)
= 23.294.460 / 133.784.560 = 1 : 5,74319 = 17,411920%

Die Berechnungs-Strategie ist, von der Gesamtzahl der Kombinationen die abzuziehen, die zu den übrigen 9 Kategorien gehören.
Da bei "High Card" kein Wert mehrfach vorkommen darf, geht man zunächst von 13 Karten mit 13 verschiedenen Werten aus.
Dadurch schließt man schon die 5 Kategorien "Four of a Kind", "Full House", "Three of a Kind", "Two Pairs" und "One Pair" aus.
Es gibt dann (¹³₇) = 1716 Werte-Kombinationen, aus den 13 Karten 7 Karten auszuwählen.

Davon muss man jetzt die Kombinationen abziehen, aus den man irgendeine Straße ("Royal Flush", "Straight Flush" oder "Straight") bilden kann.
Darunter befinden sich 8 Straßen (bestehend aus 5 Karten), bei denen es für die beiden übrigen Karten (⁶₂) = 15 Möglichkeiten gibt.
Darunter befinden sich 2 Straßen (bestehend aus 5 Karten), bei denen es für die beiden übrigen Karten (⁷₂) = 21 Möglichkeiten gibt.
Darunter befinden sich 7 Straßen (bestehend aus 6 Karten), bei denen es für die übrige Karte 5 Möglichkeiten gibt.
Darunter befinden sich 2 Straßen (bestehend aus 6 Karten), bei denen es für die übrige Karte 6 Möglichkeiten gibt.
Darunter befinden sich 8 Straßen (bestehend aus 7 Karten).

Z.B. bleiben bei den 7 Straßen, die aus 6 Karten bestehen (z.B. "6 7 8 9 10 Bube"), für die 7. Karte nur die 5 Möglichkeiten 2, 3, 4, König oder Ass.
Bei den 2 Straßen, die aus 6-Karten bestehen (nämlich "2 3 4 5 6 7" und "9 10 Bube Dame König Ass") bleiben für die 7. Karte dagegen 6 Möglichkeiten,
nämlich 9, 10, Bube, Dame, König oder Ass bzw. 2, 3, 4, 5, 6 oder 7.

Insgesamt muss man also 8 · 15 + 2 · 21 + 7 · 5 + 2 · 6 + 8 = 217 Kombinationen abziehen, mit denen sich Straßen bilden lassen.

Für jede der verbleibenden 1499 Werte-Kombinationen gibt es 4⁷ = 16.384 Farb-Variationen, weil ja jede der 7 Karten in 4 Farben auftreten kann.
Von diesen Farb-Variationen muss man jetzt die Variationen abziehen, die einen "Flush" bilden können.

Wenn 5 Farben gleich sind, gibt es (⁷₅) = 21 Kombinationen, diese Farbe den 7 Karten zuzuordnen. Für die beiden übrigen Karten bleiben 3² = 9 Farb-Variationen.
Wenn 6 Farben gleich sind, gibt es (⁷₆) = 7 Kombinationen, diese Farbe den 7 Karten zuzuordnen. Für die übrige Karte bleiben 3 Farben.
Wenn alle 7 Farben gleich sind, gibt es nur eine Kombination.

Die gleichen Überlegungen gelten für jede der 4 Farben. Zusammen ergibt das dann (21 · 9 + 7 · 3 + 1) · 4 = 844 Farb-Variationen,
mit denen man einen "Flush" bilden kann und die deshalb von den 16.384 Farb-Variationen abgezogen werden müssen.

Es bleiben 15.540 Farb-Variationen für jede der 1499 Werte-Kombinationen übrig. Insgesamt gibt es also 15.540 · 1499 = 23.294.460 günstige Kombinationen.

Copyright © Werner Brefeld (2009)