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Der Sultan und seine 6 Söhne
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32. Ein Sultan hatte 6 Söhne. Außerdem besaß er einen Palast mit vielen Kellergewölben. In jedem Kellergewölbe befanden sich genauso viele Schatztruhen wie im Palast Kellergewölbe vorhanden waren. Und schließlich enthielt jede Schatztruhe genauso viele Goldmünzen wie Schatztruhen in einem Kellergewölbe standen. Der Sultan rief nun seinen Schatzkämmerer zu sich und versprach ihm eine Schatztruhe mit Goldmünzen als Belohnung, wenn es ihm gelänge, den restlichen Schatz so an seine 6 Söhne zu verteilen, dass jeder Sohn genau die gleiche Anzahl von Goldmünzen bekäme. Ansonsten würde er sein Leben verlieren. Konnte der Schatzkämmerer den Schatz gleichmäßig verteilen und damit sein Leben retten?
Die unbekannte Anzahl der Kellergewölbe im Palast des Sultans nennt man n. In jedem Kellergewölbe befinden
sich dann auch n Schatztruhen, und jede Schatztruhe enthält n Goldmünzen. Die gesamte Anzahl der Goldmünzen
beträgt also n · n · n = n3. Da der Schatzkämmerer davon eine Schatztruhe mit
n Goldmünzen als Belohnung bekommen soll, beträgt die Anzahl Z der unter den 6 Söhnen zu verteilenden
Goldmünzen:
Z = n3 – n = n · (n2 – 1) = n · (n – 1) · (n + 1) = (n – 1) · n · (n + 1)
Man kann die Anzahl Z also als Produkt der drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen (n – 1), n und (n + 1)
darstellen. Da jede zweite Zahl durch 2 teilbar ist, muss sich unter drei aufeinanderfolgenden Zahlen auf jeden Fall
eine gerade Zahl befinden. Ebenso muss sich darunter eine befinden, die durch 3 teilbar ist. Daraus folgt, dass das
Produkt der drei Zahlen auf jeden Fall durch 6 teilbar sein muss. Damit ist bewiesen, dass der Schatzkämmerer den
restlichen Goldschatz so an die 6 Söhne des Sultans verteilen konnte, dass jeder die gleiche Anzahl Goldmünzen bekam.
Er konnte sein Leben also retten.
Was ist verblüffend an diesem Mathematik-Rätsel? Intuitiv glauben viele, dass man nicht entscheiden könne, ob sich
die Goldmünzen gleichmäßig auf 6 Söhne verteilen lassen, solange man deren Anzahl nicht kennt.
Copyright © Werner Brefeld (2009)