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Weitere Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswerte und optimale Strategien beim Kniffel
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Themenübersicht auf der Hauptseite:
Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben
Wahrscheinlichkeiten und Strategien beim Kniffel mit 3 Würfen für nur eine Kategorie: Kniffel-Seite
Wahrscheinlichkeiten beim Kniffel für nur einen Wurf: Stochastik-Seite (Beispiele 14, 15, 24)
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Wahrscheinlichkeiten beim Dreierpasch
Die Wahrscheinlichkeit, mit 3 Würfen bei optimaler Strategie einen Dreierpasch zu erzielen, beträgt 74,319527%.
Diese Strategie ist nicht identisch mit der Strategie, möglichst viele Punkte mit einem Dreierpasch zu erzielen
(siehe dazu die Kniffel-Seite), sondern sie entspricht der Strategie zum Erreichen eines Kniffels.
Bei der optimalen Strategie wird sowohl nach dem ersten als auch nach dem zweiten Wurf nur ein Mehrling behalten und es gelten
die folgenden unmittelbar einleuchtenden Regeln:
Bei einem Kniffel, Vierling, Full House und Drilling ist man schon am Ziel.
Bei zwei Zwillingen wird nur ein Zwilling behalten, egal welcher.
Bei einem Zwilling wird nur der Zwilling behalten.
Bei fünf Einlingen wird nur ein Einling behalten, egal welcher. Es ist allerdings genau so optimal,
alles zu verwerfen und komplett neu zu würfeln.
Die folgende Zusammenstellung enthält die 6 möglichen Fälle zum Erzielen eines Dreierpasch mit den entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten p bei optimaler Strategie.
Die in Klammern gesetzten und durch Schrägstriche abgetrennten 3 verschiedenen Kategorien geben an, was nach dem ersten, zweiten und dritten Wurf erreicht sein soll, sofern man
nicht schon vorher einen Dreierpasch erzielt hat. Entsprechend sind die in den Klammern stehenden Brüche die Wahrscheinlichkeiten zum Erreichen der jeweils angegebenen Kategorien:
p1 = 1656/7776 = 23/108 = 21,296296% (Drilling oder Full House oder Vierling oder Kniffel = Dreierpasch / - / -)
p2 = (5400/7776)·(96/216) = 25/81 = 30,864198% (Zwilling oder 2 Zwillinge / Dreierpasch / -)
p3 = (5400/7776)·(120/216)·(96/216) = 125/729 = 17,146776% (Zwilling oder 2 Zwillinge / Zwilling oder 2 Zwillinge / Dreierpasch)
p4 = (720/7776)·(276/1296) = 115/5832 = 1,971879% (Einlinge / Dreierpasch / -)
p5 = (720/7776)·(900/1296)·(96/216) = 125/4374 = 2,857796% (Einlinge / Zwilling oder 2 Zwillinge / Dreierpasch)
p6 = (720/7776)·(120/1296)·(276/1296) = 575/314928 = 0,182581% (Einlinge / Einlinge / Dreierpasch)
Die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich durch Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten
und führt auf den schon oben angegebenen Wert:
pgesamt = 234053/314928 = 74,319527%
Nach einem Wurf beträgt die Wahrscheinlichkeit übrigens 1656/7776 = 21,296296% und nach zwei Würfen 3157/5832 = 54,132373%.
Wie groß wäre eigentlich die entsprechende Wahrscheinlichkeit für einen "Zweierpasch"? Die Wahrscheinlichkeit für einen "Zweierpasch" errechnet sich einfach als
1 minus der Wahrscheinlichkeit, dreimal keinen "Zweierpasch" zu erzielen.
Sie beträgt 1 – (6 · 5! / 65)3 = 1 – (720 / 7776)3 = 1 – 0,00079383 = 99,920617%.
Wahrscheinlichkeiten beim Viererpasch
Die Wahrscheinlichkeit, mit 3 Würfen bei optimaler Strategie einen Viererpasch zu erzielen, beträgt 29,079358%.
Diese Strategie ist nicht identisch mit der Strategie, möglichst viele Punkte mit einem Viererpasch zu erzielen
(siehe dazu die Kniffel-Seite), sondern sie entspricht der Strategie zum Erreichen eines Kniffels.
Bei der optimalen Strategie wird sowohl nach dem ersten als auch nach dem zweiten Wurf nur ein Mehrling behalten und es gelten
die folgenden unmittelbar einleuchtenden Regeln:
Bei einem Kniffel und einem Vierling ist man schon am Ziel.
Bei einen Drilling oder Full House wird nur der Drilling behalten.
Bei zwei Zwillingen wird nur ein Zwilling behalten, egal welcher.
Bei einem Zwilling wird nur der Zwilling behalten.
Bei fünf Einlingen wird nur ein Einling behalten, egal welcher. Es ist allerdings genau so optimal,
alles zu verwerfen und komplett neu zu würfeln.
Die folgende Zusammenstellung enthält die 10 möglichen Fälle zum Erzielen eines Viererpasch mit den entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten p bei optimaler Strategie.
Die in Klammern gesetzten und durch Schrägstriche abgetrennten 4 verschiedenen Kategorien geben an, was nach dem ersten, zweiten und dritten Wurf erreicht sein soll, sofern man
nicht schon vorher einen Viererpasch erzielt hat. Entsprechend sind die in den Klammern stehenden Brüche die Wahrscheinlichkeiten zum Erreichen der jeweils angegebenen Kategorien:
p1 = 156/7776 = 13/648 = 2,006173% (Vierling oder Kniffel = Viererpasch / - / -)
p2 = (1500/7776)·(11/36) = 1375/23328 = 5,894204% (Drilling oder Full House / Viererpasch / -)
p3 = (1500/7776)·(25/36)·(11/36) = 34375/839808 = 4,093197% (Drilling oder Full House / Drilling oder Full House / Viererpasch)
p4 = (5400/7776)·(16/216) = 25/486 = 5,144033% (Zwilling oder 2 Zwillinge / Viererpasch / -)
p5 = (5400/7776)·(80/216)·(11/36) = 1375/17496 = 7,858939% (Zwilling oder 2 Zwillinge / Drilling oder Full House / Viererpasch)
p6 = (5400/7776)·(120/216)·(16/216) = 125/4374 = 2,857796% (Zwilling oder 2 Zwillinge / Zwilling oder 2 Zwillinge / Viererpasch)
p7 = (720/7776)·(26/1296) = 65/34992 = 0,185757% (Einlinge / Viererpasch / -)
p8 = (720/7776)·(250/1296)·(11/36) = 6875/1259712 = 0,545760% (Einlinge / Drilling oder Full House / Viererpasch)
p9 = (720/7776)·(900/1296)·(16/216) = 125/26244 = 0,476299% (Einlinge / Zwilling oder 2 Zwillinge / Viererpasch)
p10 = (720/7776)·(120/1296)·(26/1296) = 325/1889568 = 0,017200% (Einlinge / Einlinge / Viererpasch)
Die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich durch Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten
und führt auf den schon oben angegebenen Wert:
pgesamt = 2197897/7558272 = 29,079358%
Nach einem Wurf beträgt die Wahrscheinlichkeit übrigens 156/7776 = 2,006173% und nach zwei Würfen 9259/69.984 = 13,230167%.
Wahrscheinlichkeiten für die Summen der Augenzahlen bei der Chance
Die folgende Zusammenstellung enthält die Wahrscheinlichkeiten pn, mit 3 Würfen bei optimaler Strategie die Summe n
der Augenzahlen zu erzielen:
p5 = 248.832 / 470.184.984.576 = 0.0001%
p6 = 1.244.160 / 470.184.984.576 = 0.0003%
p7 = 3.732.480 / 470.184.984.576 = 0.0008%
p8 = 11.197.440 / 470.184.984.576 = 0.0024%
p9 = 33.592.320 / 470.184.984.576 = 0.0071%
p10 = 87.340.032 / 470.184.984.576 = 0.0186%
p11 = 197.821.440 / 470.184.984.576 = 0.0421%
p12 = 429.235.200 / 470.184.984.576 = 0.0913%
p13 = 906.992.640 / 470.184.984.576 = 0.1929%
p14 = 1.777.904.640 / 470.184.984.576 = 0.3781%
p15 = 3.210.181.632 / 470.184.984.576 = 0.6827%
p16 = 5.527.802.880 / 470.184.984.576 = 1.1757%
p17 = 9.208.028.160 / 470.184.984.576 = 1.9584%
p18 = 14.463.360.000 / 470.184.984.576 = 3.0761%
p19 = 21.107.174.400 / 470.184.984.576 = 4.4891%
p20 = 29.129.020.416 / 470.184.984.576 = 6.1952%
p21 = 38.586.378.240 / 470.184.984.576 = 8.2066%
p22 = 48.171.386.880 / 470.184.984.576 = 10.2452%
p23 = 55.091.404.800 / 470.184.984.576 = 11.7170%
p24 = 57.778.790.400 / 470.184.984.576 = 12.2885%
p25 = 56.757.583.872 / 470.184.984.576 = 12.0713%
p26 = 51.597.803.520 / 470.184.984.576 = 10.9739%
p27 = 40.310.784.000 / 470.184.984.576 = 8.5734%
p28 = 24.186.470.400 / 470.184.984.576 = 5.1440%
p29 = 9.674.588.160 / 470.184.984.576 = 2.0576%
p30 = 1.934.917.632 / 470.184.984.576 = 0.4115%
Berechnung mit Hilfe eines Computer-Programms
Erwartungswerte für zwei offene Kategorien beim Kniffel-Spiel
In der folgenden Tabelle sind alle 78 Fälle aufgeführt, bei denen noch genau 2 Kategorien offen sind. Angegeben sind die mittleren Punktzahlen (Erwartungswerte),
die man dann jeweils bei optimaler Strategie erreicht. Bonuspunkte wurden bei dieser Berechnung nicht berücksichtigt.
Die Werte in den Klammern geben an, wie viele Punkte man im Mittel mehr erzielt, als wenn man die beiden Kategorien jeweils einzeln optimiert hätte:
Einer und Zweier: 7,122429 (+0,803)
Einer und Dreier: 9,572760 (+1,147)
Einer und Vierer: 12,040419 (+1,508)
Einer und Fünfer: 14,509981 (+1,871)
Einer und Sechser: 16,981755 (+2,236)
Einer und Dreierpasch: 21,817047 (+4,516)
Einer und Viererpasch: 10,761901 (+3,044)
Einer und Full House: 16,358312 (+5,180)
Einer und kleine Straße: 27,194479 (+6,625)
Einer und große Straße: 19,263079 (+6,713)
Einer und Kniffel: 5,893168 (+1,485)
Einer und Chance: 26,459315 (+1,020)
Zweier und Dreier: 11,830067 (+1,298)
Zweier und Vierer: 14,244857 (+1,606)
Zweier und Fünfer: 16,693681 (+1,948)
Zweier und Sechser: 19,145519 (+2,294)
Zweier und Dreierpasch: 23,488120 (+4,080)
Zweier und Viererpasch: 12,346240 (+2,522)
Zweier und Full House: 17,893059 (+4,608)
Zweier und kleine Straße: 29,052529 (+6,376)
Zweier und große Straße: 20,743299 (+6,087)
Zweier und Kniffel: 8,018201 (+1,504)
Zweier und Chance: 28,658342 (+1,112)
Dreier und Vierer: 16,539606 (+1,794)
Dreier und Fünfer: 18,950596 (+2,099)
Dreier und Sechser: 21,367286 (+2,409)
Dreier und Dreierpasch: 25,359175 (+3,845)
Dreier und Viererpasch: 14,310305 (+2,380)
Dreier und Full House: 19,494080 (+4,103)
Dreier und kleine Straße: 30,642444 (+5,860)
Dreier und große Straße: 22,133538 (+5,370)
Dreier und Kniffel: 10,409530 (+1,789)
Dreier und Chance: 30,954951 (+1,302)
Vierer und Fünfer: 21,249144 (+2,291)
Vierer und Sechser: 23,660134 (+2,595)
Vierer und Dreierpasch: 27,416903 (+3,796)
Vierer und Viererpasch: 16,537325 (+2,500)
Vierer und Full House: 21,242074 (+3,744)
Vierer und kleine Straße: 32,476655 (+5,587)
Vierer und große Straße: 23,603208 (+4,733)
Vierer und Kniffel: 12,822288 (+2,095)
Vierer und Chance: 33,347083 (+1,588)
Fünfer und Sechser: 25,958683 (+2,787)
Fünfer und Dreierpasch: 29,511368 (+3,784)
Fünfer und Viererpasch: 18,779091 (+2,635)
Fünfer und Full House: 23,230038 (+3,626)
Fünfer und kleine Straße: 34,829906 (+5,834)
Fünfer und große Straße: 25,232258 (+4,256)
Fünfer und Kniffel: 15,235046 (+2,401)
Fünfer und Chance: 35,559533 (+1,694)
Sechser und Dreierpasch: 31,518629 (+3,685)
Sechser und Viererpasch: 21,230356 (+2,980)
Sechser und Full House: 25,317122 (+3,606)
Sechser und kleine Straße: 36,641378 (+5,539)
Sechser und große Straße: 27,351177 (+4,268)
Sechser und Kniffel: 17,668410 (+2,728)
Sechser und Chance: 37,343785 (+1,372)
Dreierpasch und Viererpasch: 25,644149 (+4,838)
Dreierpasch und Full House: 28,595980 (+4,329)
Dreierpasch und kleine Straße: 38,684169 (+5,026)
Dreierpasch und große Straße: 29,466734 (+3,828)
Dreierpasch und Kniffel: 22,693226 (+5,197)
Dreierpasch und Chance: 42,805413 (+4,277)
Viererpasch und Full House: 19,636379 (+4,953)
Viererpasch und kleine Straße: 29,823318 (+5,749)
Viererpasch und große Straße: 20,798317 (+4,743)
Viererpasch und Kniffel: 11,695701 (+3,783)
Viererpasch und Chance: 31,629982 (+2,685)
Full House und kleine Straße: 32,995930 (+5,461)
Full House und große Straße: 23,421948 (+3,906)
Full House und Kniffel: 16,798868 (+5,425)
Full House und Chance: 36,274722 (+3,869)
kleine Straße und große Straße: 36,245553 (+7,338)
kleine Straße und Kniffel: 27,223651 (+6,459)
kleine Straße und Chance: 47,520581 (+5,724)
große Straße und Kniffel: 19,045911 (+6,301)
große Straße und Chance: 38,434841 (+4,658)
Kniffel und Chance: 27,259810 (+1,625)
Berechnung mit Hilfe eines Computer-Programms für optimale Kniffel-Strategien
Wenn noch zwei Kategorien offen sind, dann kommt es oft vor, dass die optimale Strategie für keine der beiden Kategorien einzeln betrachtet optimal ist.
Einer solchen "Mischstrategie" muss man z.B. folgen, wenn man 11156 würfelt und die Fünfer und Sechser die beiden noch offenen Kategorien sind.
Entgegen der Erwartung darf man nicht nur die 5 oder nur die 6 behalten, sondern man muss sowohl die 5 als auch die 6 behalten.
Das gilt sowohl nach dem ersten als auch nach dem zweiten Wurf. Nach dem dritten Wurf wird dann die eine 5 bei den Fünfern eingetragen.
Strategie für die ersten drei Würfe beim Kniffel-Spiel
In der unten aufgeführten Tabelle findet man für jede der 252 Kombination der Augenzahlen auf den fünf Würfeln die optimale Strategie
nach dem ersten, zweiten und dritten Wurf eines Kniffel-Spiels. Die Angaben gelten also nur am Anfang eines Kniffel-Spiels, wenn noch in keiner
der 13 Kategorien (1er bis 6er, Dreierpasch, Viererpasch, Full House, kleine Straße, große Straße, Kniffel und Chance) etwas eingetragen wurde.
Wie schon auf der Kniffel-Seite erwähnt wird, beträgt der Erwartungswert am Anfang des Spiels 245,870775 Punkte.
Die erste Angabe jeder Zeile enthält die jeweils erwürfelte Kombination der Augenzahlen nach dem ersten, zweiten oder dritten Wurf.
Die beiden folgenden Angaben zeigen, was man davon nach dem ersten bzw. zweiten Wurf behalten sollte.
Die vierte Angabe beschreibt, bei welcher Kategorie man nach dem dritten Wurf die entsprechende Punktzahl eintragen sollte.
Und in Klammern steht, welche mittlere Punktzahl man nach dem Eintrag für das gesamte Kniffel-Spiel erwarten kann:
11111 11111 11111 Kniffel (278,209)
11112 1111_ 1111_ 1er (241,141)
11113 1111_ 1111_ 1er (241,141)
11114 1111_ 1111_ 1er (241,141)
11115 1111_ 1111_ 1er (241,141)
11116 1111_ 1111_ 1er (241,141)
11122 11122 11122 Full House (246,415)
11123 111__ 111__ 1er (238,411)
11124 111__ 111__ 1er (238,411)
11125 111__ 111__ 1er (238,411)
11126 111__ 111__ 1er (238,411)
11133 11133 11133 Full House (246,415)
11134 111__ 111__ 1er (238,411)
11135 111__ 111__ 1er (238,411)
11136 111__ 111__ 1er (238,411)
11144 11144 11144 Full House (246,415)
11145 111__ 111__ 1er (238,411)
11146 111__ 111__ 1er (238,411)
11155 11155 11155 Full House (246,415)
11156 111__ 111__ 1er (238,411)
11166 11166 11166 Full House (246,415)
11222 222__ 11222 Full House (246,415)
11223 22___ 1122_ 1er (235,438)
11224 22___ 1122_ 1er (235,438)
11225 22___ 1122_ 1er (235,438)
11226 22___ 1122_ 1er (235,438)
11233 33___ 1133_ 1er (235,438)
11234 1234_ 1234_ kleine Straße (238,810)
11235 5____ 11___ 1er (235,438)
11236 6____ 11___ 1er (235,438)
11244 44___ 44___ 1er (235,438)
11245 245__ 11___ 1er (235,438)
11246 4____ 11___ 1er (235,438)
11255 55___ 55___ 1er (235,438)
11256 5____ 11___ 1er (235,438)
11266 66___ 66___ 1er (235,438)
11333 333__ 11333 Full House (246,415)
11334 33___ 1133_ 1er (235,438)
11335 33___ 1133_ 1er (235,438)
11336 33___ 1133_ 1er (235,438)
11344 44___ 44___ 1er (235,438)
11345 345__ 345__ 1er (235,438)
11346 34___ 11___ 1er (235,438)
11355 55___ 55___ 1er (235,438)
11356 5____ 11___ 1er (235,438)
11366 66___ 66___ 1er (235,438)
11444 444__ 444__ Full House (246,415)
11445 44___ 44___ 1er (235,438)
11446 44___ 44___ 1er (235,438)
11455 55___ 55___ 1er (235,438)
11456 5____ 11___ 1er (235,438)
11466 66___ 66___ 1er (235,438)
11555 555__ 555__ Full House (246,415)
11556 55___ 55___ 1er (235,438)
11566 66___ 66___ 1er (235,438)
11666 666__ 666__ Full House (246,415)
12222 2222_ 2222_ 2er (246,401)
12223 222__ 222__ 2er (240,708)
12224 222__ 222__ 2er (240,708)
12225 222__ 222__ 2er (240,708)
12226 222__ 222__ 2er (240,708)
12233 33___ 33___ 2er (234,850)
12234 1234_ 1234_ kleine Straße (238,810)
12235 22___ 22___ 2er (234,850)
12236 22___ 22___ 2er (234,850)
12244 44___ 44___ 2er (234,850)
12245 22___ 22___ 2er (234,850)
12246 22___ 22___ 2er (234,850)
12255 55___ 55___ 2er (234,850)
12256 22___ 22___ 2er (234,850)
12266 66___ 66___ 2er (234,850)
12333 333__ 333__ 3er (241,794)
12334 33___ 1234_ kleine Straße (238,810)
12335 33___ 33___ 3er (233,000)
12336 33___ 33___ 3er (233,000)
12344 44___ 1234_ kleine Straße (238,810)
12345 12345 12345 große Straße (253,474)
12346 1234_ 1234_ kleine Straße (238,810)
12355 55___ 55___ 1er (232,676)
12356 5____ 235__ 1er (232,676)
12366 66___ 66___ 1er (232,676)
12444 444__ 444__ 4er (242,369)
12445 44___ 44___ 1er (232,676)
12446 44___ 44___ 1er (232,676)
12455 55___ 55___ 1er (232,676)
12456 245__ 456__ 1er (232,676)
12466 66___ 66___ 1er (232,676)
12555 555__ 555__ 5er (242,831)
12556 55___ 55___ 1er (232,676)
12566 66___ 66___ Chance (232,686)
12666 666__ 666__ 6er (243,279)
13333 3333_ 3333_ 3er (250,521)
13334 333__ 333__ 3er (241,794)
13335 333__ 333__ 3er (241,794)
13336 333__ 333__ 3er (241,794)
13344 44___ 44___ 3er (233,000)
13345 33___ 33___ 3er (233,000)
13346 33___ 33___ 3er (233,000)
13355 55___ 55___ 3er (233,000)
13356 33___ 33___ 3er (233,000)
13366 66___ 66___ 3er (233,000)
13444 444__ 444__ 4er (242,369)
13445 44___ 44___ 1er (232,676)
13446 44___ 44___ 1er (232,676)
13455 55___ 55___ 1er (232,676)
13456 3456_ 3456_ kleine Straße (238,810)
13466 66___ 66___ Chance (232,686)
13555 555__ 555__ 5er (242,831)
13556 55___ 55___ Chance (232,686)
13566 66___ 66___ Chance (233,686)
13666 666__ 666__ 6er (243,279)
14444 4444_ 4444_ 4er (254,068)
14445 444__ 444__ 4er (242,369)
14446 444__ 444__ 4er (242,369)
14455 55___ 55___ 1er (232,676)
14456 44___ 44___ Chance (232,686)
14466 66___ 66___ Chance (233,686)
14555 555__ 555__ 5er (242,831)
14556 55___ 55___ Chance (233,686)
14566 66___ 66___ Chance (234,686)
14666 666__ 666__ 6er (243,279)
15555 5555_ 5555_ 5er (257,370)
15556 555__ 555__ 5er (242,831)
15566 66___ 66___ Chance (235,686)
15666 666__ 666__ 6er (243,279)
16666 6666_ 6666_ 6er (261,059)
22222 22222 22222 Kniffel (278,209)
22223 2222_ 2222_ 2er (246,401)
22224 2222_ 2222_ 2er (246,401)
22225 2222_ 2222_ 2er (246,401)
22226 2222_ 2222_ 2er (246,401)
22233 222__ 22233 Full House (246,415)
22234 222__ 222__ 2er (240,708)
22235 222__ 222__ 2er (240,708)
22236 222__ 222__ 2er (240,708)
22244 222__ 22244 Full House (246,415)
22245 222__ 222__ 2er (240,708)
22246 222__ 222__ 2er (240,708)
22255 222__ 22255 Full House (246,415)
22256 222__ 222__ 2er (240,708)
22266 222__ 22266 Full House (246,415)
22333 333__ 22333 Full House (246,415)
22334 33___ 33___ 2er (234,850)
22335 33___ 33___ 2er (234,850)
22336 33___ 33___ 2er (234,850)
22344 44___ 44___ 2er (234,850)
22345 2345_ 2345_ kleine Straße (238,810)
22346 234__ 234__ 2er (234,850)
22355 55___ 55___ 2er (234,850)
22356 22___ 22___ 2er (234,850)
22366 66___ 66___ 2er (234,850)
22444 444__ 444__ Full House (246,415)
22445 44___ 44___ 2er (234,850)
22446 44___ 44___ 2er (234,850)
22455 55___ 55___ 2er (234,850)
22456 22___ 22___ 2er (234,850)
22466 66___ 66___ 2er (234,850)
22555 555__ 555__ Full House (246,415)
22556 55___ 55___ 2er (234,850)
22566 66___ 66___ 2er (234,850)
22666 666__ 666__ Full House (246,415)
23333 3333_ 3333_ 3er (250,521)
23334 333__ 333__ 3er (241,794)
23335 333__ 333__ 3er (241,794)
23336 333__ 333__ 3er (241,794)
23344 44___ 44___ 3er (233,000)
23345 2345_ 2345_ kleine Straße (238,810)
23346 33___ 33___ 3er (233,000)
23355 55___ 55___ 3er (233,000)
23356 33___ 33___ 3er (233,000)
23366 66___ 66___ 3er (233,000)
23444 444__ 444__ 4er (242,369)
23445 2345_ 2345_ kleine Straße (238,810)
23446 44___ 44___ Chance (231,686)
23455 2345_ 2345_ kleine Straße (238,810)
23456 23456 23456 große Straße (253,474)
23466 66___ 66___ Chance (233,686)
23555 555__ 555__ 5er (242,831)
23556 55___ 55___ Chance (233,686)
23566 66___ 66___ Chance (234,686)
23666 666__ 666__ 6er (243,279)
24444 4444_ 4444_ 4er (254,068)
24445 444__ 444__ 4er (242,369)
24446 444__ 444__ 4er (242,369)
24455 55___ 55___ Chance (232,686)
24456 44___ 44___ Chance (233,686)
24466 66___ 66___ Chance (234,686)
24555 555__ 555__ 5er (242,831)
24556 55___ 55___ Chance (234,686)
24566 66___ 66___ Chance (235,686)
24666 666__ 666__ 6er (243,279)
25555 5555_ 5555_ 5er (257,370)
25556 555__ 555__ 5er (242,831)
25566 66___ 66___ Chance (236,686)
25666 666__ 666__ Dreierpasch (243,868)
26666 6666_ 6666_ 6er (261,059)
33333 33333 33333 Kniffel (278,209)
33334 3333_ 3333_ 3er (250,521)
33335 3333_ 3333_ 3er (250,521)
33336 3333_ 3333_ 3er (250,521)
33344 333__ 33344 Full House (246,415)
33345 333__ 333__ 3er (241,794)
33346 333__ 333__ 3er (241,794)
33355 333__ 33355 Full House (246,415)
33356 333__ 333__ 3er (241,794)
33366 333__ 33366 Full House (246,415)
33444 444__ 444__ Full House (246,415)
33445 44___ 44___ 3er (233,000)
33446 44___ 44___ 3er (233,000)
33455 55___ 55___ 3er (233,000)
33456 33___ 3456_ kleine Straße (238,810)
33466 66___ 66___ Chance (234,686)
33555 555__ 555__ Full House (246,415)
33556 55___ 55___ Chance (234,686)
33566 66___ 66___ Chance (235,686)
33666 666__ 666__ Full House (246,415)
34444 4444_ 4444_ 4er (254,068)
34445 444__ 444__ 4er (242,369)
34446 444__ 444__ 4er (242,369)
34455 55___ 55___ Chance (233,686)
34456 44___ 3456_ kleine Straße (238,810)
34466 66___ 66___ Chance (235,686)
34555 555__ 555__ 5er (242,831)
34556 55___ 3456_ kleine Straße (238,810)
34566 66___ 3456_ kleine Straße (238,810)
34666 666__ 666__ Dreierpasch (243,868)
35555 5555_ 5555_ 5er (257,370)
35556 555__ 555__ Dreierpasch (242,868)
35566 66___ 66___ Chance (237,686)
35666 666__ 666__ Dreierpasch (244,868)
36666 6666_ 6666_ 6er (261,059)
44444 44444 44444 Kniffel (278,209)
44445 4444_ 4444_ 4er (254,068)
44446 4444_ 4444_ 4er (254,068)
44455 444__ 444__ Full House (246,415)
44456 444__ 444__ 4er (242,369)
44466 444__ 444__ Full House (246,415)
44555 555__ 555__ Full House (246,415)
44556 55___ 55___ Chance (236,686)
44566 66___ 66___ Chance (237,686)
44666 666__ 666__ Full House (246,415)
45555 5555_ 5555_ 5er (257,370)
45556 555__ 555__ Dreierpasch (243,868)
45566 66___ 66___ Chance (238,686)
45666 666__ 666__ Dreierpasch (245,868)
46666 6666_ 6666_ 6er (261,059)
55555 55555 55555 Kniffel (278,209)
55556 5555_ 5555_ 5er (257,370)
55566 555__ 555__ Full House (246,415)
55666 666__ 666__ Dreierpasch (246,868)
56666 6666_ 6666_ 6er (261,059)
66666 66666 66666 Kniffel (278,209)
Berechnung mit Hilfe eines Computer-Programms für optimale Kniffel-Strategien
Unter den 252 Ausgangskombinationen befindet sich 30-mal ein Full House.
Verblüffend ist, dass nach dem ersten Wurf entsprechend der optimalen Strategie in 25 Fällen das Full House wieder zerstört werden muss.
In einem Fall wird das Full House sogar als Dreierpasch eingetragen. Auch unter den 14 Fällen für eine kleine Straße muss diese 6-mal wieder zerstört werden.
Sehr verblüffend ist auch, dass keiner der 30 Viererpaschs als Viererpasch eingetragen wird. Alle diese verblüffenden Strategien sind rot gekennzeichnet.
Wahrscheinlichkeiten für einen Kniffel mit bis zu 60 Würfen
Die auf der Kniffel-Seite angebenen Einzel-Wahrscheinlichkeiten zum Erzielen eines Kniffels lassen sich auf folgende Weise in einer
5x5-Matrix anordnen:
| 120/1296 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 900/1296 | 120/216 | 0 | 0 | 0 |
| 250/1296 | 80/216 | 25/36 | 0 | 0 |
| 25/1296 | 15/216 | 10/36 | 5/6 | 0 |
| 1/1296 | 1/216 | 1/36 | 1/6 | 1 |
In der ersten Zeile stehen die Wahrscheinlichkeiten, mit einem Wurf bei optimaler Strategie von einem Einling, einem Zwilling, einem Drilling,
einem Vierling und einem Kniffel zu einem Einling zu gelangen. In den Zeilen 2, 3, 4 und 5 stehen die Wahrscheinlichkeiten, um auf die gleiche Weise
zu einem Zwilling, Drilling, Vierling und Kniffel zu gelangen.
Die Situation nach einem Wurf mit 5 Würfeln lässt sich dagegen als Spalten-Vektor mit 5 Elementen darstellen, wobei das erste
Element die Wahrscheinlichkeit angibt, dass ein Einling erzielt worden ist. Die weiteren 4 Elemente geben dann die Wahrscheinlichkeiten
zum Erzielen eines Zwillings, Drillings, Vierlings und Kniffels an. Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten ist es nun egal, ob man beim
ersten Wurf mit 5 Würfeln würfelt oder nur mit 4, indem man schon einen Würfel - also einen Einling - behält. Startet man mit einem Einling,
dann enthält der entsprechende Spalten-Vektor also als erstes Element eine Eins (100%) und ansonsten nur Nullen.
Multipliziert man die 5x5-Matrix mit diesem Anfangs-Vektor, erhält man einen Vektor, der die Wahrscheinlichkeiten nach dem
ersten Wurf enthält. Multipliziert man die 5x5-Matrix dann mit diesem neuen Vektor, erhält man die Wahrscheinlichkeiten nach dem zweiten Wurf usw.
Die folgende Tabelle enthält alle Wahrscheinlichkeiten für bis zu 50 Würfen:
| Anzahl | Einling | Zwilling | Drilling | Vierling | Kniffel |
| der | | | | | |
| Würfe | | | | | |
| | | | | |
| 1 | 9,259259% | 69,444444% | 19,290123% | 1,929012% | 0,077160% |
| 2 | 0,857339% | 45,010288% | 40,902206% | 11,967021% | 1,263146% |
| 3 | 0,079383% | 25,601090% | 45,240169% | 24,476494% | 4,602864% |
| 4 | 0,007350% | 14,277955% | 40,913982% | 34,743177% | 10,057536% |
| 5 | 0,000681% | 7,937302% | 33,702037% | 41,309309% | 17,050672% |
| 6 | 0,000063% | 4,410085% | 26,344065% | 44,337315% | 24,908472% |
| 7 | 0,000006% | 2,450091% | 19,927866% | 44,571816% | 33,050221% |
| 8 | 0,000001% | 1,361166% | 14,746238% | 42,848843% | 41,043752% |
| 9 | 0,000000% | 0,756203% | 10,744579% | 39,898072% | 48,601146% |
| 10 | 0,000000% | 0,420113% | 7,741588% | 36,285513% | 55,552786% |
| 11 | 0,000000% | 0,233396% | 5,531700% | 32,417543% | 61,817360% |
| 12 | 0,000000% | 0,129665% | 3,927902% | 28,567411% | 67,375023% |
| 13 | 0,000000% | 0,072036% | 2,775733% | 24,906264% | 72,245967% |
| 14 | 0,000000% | 0,040020% | 1,954273% | 21,531259% | 76,474448% |
| 15 | 0,000000% | 0,022233% | 1,371956% | 18,488349% | 80,117462% |
| 16 | 0,000000% | 0,012352% | 0,960982% | 15,789600% | 83,237066% |
| 17 | 0,000000% | 0,006862% | 0,671923% | 13,425797% | 85,895417% |
| 18 | 0,000000% | 0,003812% | 0,469155% | 11,375286% | 88,151747% |
| 19 | 0,000000% | 0,002118% | 0,327214% | 9,609991% | 90,060677% |
| 20 | 0,000000% | 0,001177% | 0,228016% | 8,099366% | 91,671442% |
| 21 | 0,000000% | 0,000654% | 0,158780% | 6,812891% | 93,027675% |
| 22 | 0,000000% | 0,000363% | 0,110506% | 5,721560% | 94,167570% |
| 23 | 0,000000% | 0,000202% | 0,076875% | 4,798688% | 95,124235% |
| 24 | 0,000000% | 0,000112% | 0,053460% | 4,020275% | 95,926153% |
| 25 | 0,000000% | 0,000062% | 0,037167% | 3,365087% | 96,597684% |
| 26 | 0,000000% | 0,000035% | 0,025833% | 2,814568% | 97,159565% |
| 27 | 0,000000% | 0,000019% | 0,017953% | 2,352651% | 97,629377% |
| 28 | 0,000000% | 0,000011% | 0,012474% | 1,965531% | 98,021984% |
| 29 | 0,000000% | 0,000006% | 0,008667% | 1,641408% | 98,349919% |
| 30 | 0,000000% | 0,000003% | 0,006021% | 1,370248% | 98,623728% |
| 31 | 0,000000% | 0,000002% | 0,004182% | 1,143546% | 98,852270% |
| 32 | 0,000000% | 0,000001% | 0,002905% | 0,954117% | 99,042977% |
| 33 | 0,000000% | 0,000001% | 0,002018% | 0,795904% | 99,202077% |
| 34 | 0,000000% | 0,000000% | 0,001401% | 0,663814% | 99,334784% |
| 35 | 0,000000% | 0,000000% | 0,000973% | 0,553568% | 99,445459% |
| 36 | 0,000000% | 0,000000% | 0,000676% | 0,461577% | 99,537747% |
| 37 | 0,000000% | 0,000000% | 0,000469% | 0,384835% | 99,614695% |
| 38 | 0,000000% | 0,000000% | 0,000326% | 0,320826% | 99,678848% |
| 39 | 0,000000% | 0,000000% | 0,000226% | 0,267446% | 99,732328% |
| 40 | 0,000000% | 0,000000% | 0,000157% | 0,222934% | 99,776908% |
| 41 | 0,000000% | 0,000000% | 0,000109% | 0,185822% | 99,814068% |
| 42 | 0,000000% | 0,000000% | 0,000076% | 0,154882% | 99,845042% |
| 43 | 0,000000% | 0,000000% | 0,000053% | 0,129090% | 99,870858% |
| 44 | 0,000000% | 0,000000% | 0,000037% | 0,107589% | 99,892374% |
| 45 | 0,000000% | 0,000000% | 0,000025% | 0,089668% | 99,910307% |
| 46 | 0,000000% | 0,000000% | 0,000018% | 0,074730% | 99,925252% |
| 47 | 0,000000% | 0,000000% | 0,000012% | 0,062280% | 99,937708% |
| 48 | 0,000000% | 0,000000% | 0,000009% | 0,051904% | 99,948088% |
| 49 | 0,000000% | 0,000000% | 0,000006% | 0,043255% | 99,956739% |
| 50 | 0,000000% | 0,000000% | 0,000004% | 0,036048% | 99,963948% |
| 51 | 0,000000% | 0,000000% | 0,000003% | 0,030041% | 99,969956% |
| 52 | 0,000000% | 0,000000% | 0,000002% | 0,025035% | 99,974963% |
| 53 | 0,000000% | 0,000000% | 0,000001% | 0,020863% | 99,979136% |
| 54 | 0,000000% | 0,000000% | 0,000001% | 0,017386% | 99,982613% |
| 55 | 0,000000% | 0,000000% | 0,000001% | 0,014489% | 99,985511% |
| 56 | 0,000000% | 0,000000% | 0,000000% | 0,012074% | 99,987925% |
| 57 | 0,000000% | 0,000000% | 0,000000% | 0,010062% | 99,989938% |
| 58 | 0,000000% | 0,000000% | 0,000000% | 0,008385% | 99,991615% |
| 59 | 0,000000% | 0,000000% | 0,000000% | 0,006988% | 99,993012% |
| 60 | 0,000000% | 0,000000% | 0,000000% | 0,005823% | 99,994177% |
Wir man der Tabelle entnehmen kann, beträgt die bereits berechnete Wahrscheinlichkeit für einen Kniffel mit 3 Würfen 4,602864%.
Mit 58 Würfen übersteigt die Wahrscheinlichkeit für einen Kniffel mit 99,991615% erstmals die Schwelle von 99,99%.
Und mit 8 Würfen liegt die Wahrscheinlichkeit, bei einem Zwilling stecken geblieben zu sein, immerhin noch bei 1,361166%.
Ein ähnlicher Wert (1,370248%) ergibt sich für einen Vierling nach 30 Würfen.
Copyright © Werner Brefeld (2007; Originalquelle)