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Kniffel - Wahrscheinlichkeiten und Punktzahlen bei optimaler Strategie
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Beim Kniffel erzielt man bei einer optimalen Strategie, mit der möglichst viele Punkte pro Spiel erreicht werden sollen, im Mittel 245,870775 von maximal 375 möglichen Punkten
(unter Berücksichtigung der 35 Punkte für einen Bonus, ohne Zusatzpunkte für mehrfache Kniffel und ohne Verwendung eines Kniffels als Joker).
Eine zweite Strategie wäre die, mit der man möglichst oft gewinnt. Sie unterscheidet sich von der ersten Strategie. Dazu ein anschauliches Beispiel:
Angenommen, einer von zwei Spielern hat alle 13 Runden beendet und führt mit 29 Punkten Vorsprung. Der andere Spieler kann nur noch bei der Chance eintragen.
Um zu gewinnen, muss er also 30 Punkte erzielen und darf deshalb nur die Sechsen behalten. Die zweite Strategie unterscheidet sich hier deutlich von der ersten Strategie,
möglichst viele Punkte zu erreichen. Ein Nachteil der zweiten Strategie ist, dass jeder Spieler jederzeit wissen muss, wie viele Punkte die anderen Spieler schon haben,
wie weit sie noch vom Bonus entfernt sind und welche Kategorien bei ihnen noch offen sind. Diese Informationen dürften jedoch meistens nicht bekannt sein. In diesem Fall bleibt den
Spielern nichts anderes übrig, als möglichst viele Punkte anzustreben, also der ersten Strategie zu folgen. Außerdem kann man leider die zweite Strategie (im Gegensatz zur ersten)
nicht exakt berechnen. Es gibt einfach zu viele Möglichkeiten. Die Situation ist mit der beim Schach vergleichbar. Auch dafür ist keine optimale Strategie bekannt.
Eine weitere dritte sehr spezielle Strategie bräuchte man, wollte man möglichst oft alle 375 Punkte beim Kniffel erreichen. Die optimale Strategie dafür kann man berechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, damit 375 Punkte zu erzielen, beträgt allerdings nur 6,165314 · 10-15 oder etwa 1 : 162 Billionen.
Alle weiteren Überlegungen beziehen sich auf die erste Strategie, also auf das Erreichen von möglichst vielen Punkten.
Die folgenden Wahrscheinlichkeiten gelten für einen Wurf mit 5 Würfeln. Die Formeln dazu findet man
auf der Stochastik-Formeln-Seite (Beispiele 14, 15 und 24):
Einer bis Sechser (mindestens einmal die jeweilige Augenzahl): 4651/7776 = 59,812%
reiner Dreierpasch (genau 3 gleiche Augenzahlen): 1200/7776 = 15,432%
Dreierpasch (reiner Dreierpasch oder reiner Viererpasch oder Full House oder Kniffel): 1656/7776 = 21,296%
reiner Viererpasch (genau 4 gleiche Augenzahlen): 150/7776 = 1,929%
Viererpasch (reiner Viererpasch oder Kniffel): 156/7776 = 2,006%
Full House (3 gleiche Augenzahlen und 2 andere gleiche Augenzahlen): 300/7776 = 3,858%
reine kleine Straße (genau 4 aufeinander folgende Augenzahlen): 960/7776 = 12,346%
kleine Straße (mindestens 4 aufeinander folgende Augenzahlen): 1200/7776 = 15,432%
große Straße (5 aufeinander folgende Augenzahlen): 240/7776 = 3,086%
Kniffel (5 gleiche Augenzahlen): 6/7776 = 0,077%
bestimmter Kniffel (5 bestimmte gleiche Augenzahlen): 1/7776 = 0,013%
Chance (alle Augenzahlen zählen): 7776/7776 = 100%
Die folgenden Überlegungen zu Wahrscheinlichkeiten, mittleren Punktzahlen (Erwartungswerten) und optimalen Strategien gelten
für drei Würfe und für den Fall, dass nur noch eine einzige der 13 Kategorien (Kniffel, Chance, Full House,
große Straße, usw.) offen ist und deshalb nur dafür optimiert werden muss. Für einen Kniffel, ein Full House, eine Chance und für die Einser bis
Sechser lassen sich diese Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswerte und Strategien noch gut mit Stochastik-Überlegungen und Taschenrechner bestimmen.
Auch für eine große Straße ist das bei entsprechender Sorgfalt noch möglich. Für eine kleine Straße schafft man das nur für die Wahrscheinlichkeiten.
Beim Viererpasch und beim Dreierpasch wurde die Berechnung der Erwartungswerte und optimalen Strategien dagegen mit einem sehr sorgfältig ausgetesteten
Kniffel-Programm durchgeführt. Dieses Programm wurde natürlich auch zur genauen Überprüfung aller manuellen Berechnungen eingesetzt.
Wer beim Kniffel an den Erwartungswerten für 2 noch offene oder den optimalen Strategien für alle 13 noch offenen Kategorien interessiert ist,
sollte sich die Kniffel-Strategie-Seite anschauen.
Weiter unten ist für alle diese Kategorien skizziert, wie sich die nach drei Würfen gültige Wahrscheinlichkeit bzw. der Erwartungswert zusammensetzt und errechnet.
Die Einzelwahrscheinlichkeiten wurden dadurch ermittelt, dass die entsprechende Anzahl
der günstigen Variationen durch die Gesamtzahl der Variationen geteilt wurde. Variationen sind ja im Gegensatz zu Kombinationen gleich wahrscheinlich und
deshalb für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten geeignet. Wenn sich die Anzahl der günstigen Variationen nicht direkt bestimmen ließ, wurde sie als
Produkt der Anzahl der Kombinationen und Permutationen berechnet. (Siehe dazu auch die Stochastik-Formeln-Seite.)
Das eben erwähnte Programm für das Spiel Kniffel berechnet die Erwartungswerte und Strategien für insgesamt 219 = 524.288 Spielzustände.
Diese Zahl ergibt sich daraus, dass jede der 13 Kategorien noch offen oder schon belegt sein kann (213 = 8192 Möglichkeiten),
und dass unabhängig für den Bonus schon 0, 1, 2, 3, ... , 62 oder mehr als 62 Punkte (26 = 64 Möglichkeiten) erreicht worden
sein können. Für den Erwartungswert und die optimale Strategie ist es ja egal, ob man 63 oder mehr Bonuspunkte erzielt hat. Wichtig ist
hier nur, dass der Bonus und damit die 35 Punkte sicher sind. Die Gesamtzahl der Spielzustände ist dann das Produkt aus 8192 und 64.
Das Kniffel-Programm berechnet zunächst die Erwartungswerte, wenn jeweils nur noch eine der 13 Kategorien offen ist. Für zwei noch offene
Kategorien gibt es schon 78 Kombinationen. Zur Berechnung der entsprechenden Erwartungswerte kann das Programm auf die schon berechneten
13 Erwartungswerte für nur eine offene Kategorie zurückgreifen. Entsprechend stützt sich das Kniffel-Programm zur Berechnung der
Erwartungswerte für die 286 verschiedenen Kombinationen bei drei noch offenen Kategorien auf die schon zuvor bestimmten Werte. Auf diese
Weise arbeitet sich das Programm schrittweise von hinten nach vorne, bis es schließlich zur Anfangssituation des Spiels kommt, bei der noch
alle 13 Kategorien offen sind. Insgesamt muss sich das Kniffel-Programm durch
1 + 13 + 78 + 286 + 715 + 1287 + 1716 + 1716 + 1287 + 715 + 286 + 78 + 13 + 1 = 8192 Spielzustände durcharbeiten. Die 1 am Anfang der Summe
bezeichnet dabei den Fall, dass keine Kategorie mehr offen, das Spiel also zu Ende ist. Genau genommen errechnet das Kniffel-Programm allerdings
für jede der 8192 Spielzustände 64 Erwartungswerte und nicht nur einen (wegen der verschiedenen möglicherweise schon erreichten Bonuspunkte).
Von den letzten 64 errechneten Erwartungswerten ist der für die Bonuspunktzahl 0 geltende Wert von 245,870775 der gesuchte Erwartungswert
für das gesamte Kniffel-Spiel, weil es ja ohne Bonuspunkte beginnt.
Die 524.288 errechneten Erwartungswerte werden von einem zweiten Kniffel-Programm dazu benutzt, für jede Spielsituation in jeder Runde die optimale
Strategie zu bestimmen. Dazu muss dieses Programm nach jedem der maximal drei Würfe in einer Runde alle noch verbleibenden Möglichkeiten des Würfelns,
Behaltens und Eintragens durchspielen und dabei den jeweils für diese Runde geltenden Erwartungswert berücksichtigen. Da nach jedem Würfeln
252 verschiedene Würfel-Kombinationen möglich sind, gibt es für das gesamte Kniffel-Spiel maximal 3 · 252 · 524.288 = 396.361.728 Spielsituationen,
für die das Programm optimale Strategien berechnen kann. Unter den 252 Würfel-Kombinationen befinden sich 6 Einlinge (32), 60 Zwillinge (24),
60 Doppel-Zwillinge (18), 60 Drillinge (16), 30 Full House (12), 30 Vierlinge (10) und 6 Kniffel (6). In Klammern steht jeweils die Anzahl
der Strategien, die man durch unterschiedliches Behalten verfolgen kann. Das ergibt nach dem ersten und zweiten Wurf jeweils 4368 mögliche Strategien.
Nach dem dritten Wurf gibt es dann noch 13 · 252 = 3276 Strategien. Für das gesamte Kniffel-Spiel kann das Programm demnach maximal
(2 · 4368 + 3276) · 524.288 = 6.297.747.456 Strategien berechnen. Das Programm ist außerdem in der Lage kann, die Strategie eines Spielers
oder alle überhaupt möglichen Strategien mit der optimalen Strategie zu vergleichen.
Die Wahrscheinlichkeit, mit 3 Würfen bei optimaler Strategie einen Kniffel (5 gleiche Augenzahlen) zu erzielen, beträgt 4,602864%.
Daraus ergibt sich eine mittlere Punktzahl von 2,301432.
Bei der optimalen Strategie wird sowohl nach dem ersten als auch nach dem zweiten Wurf nur ein Mehrling behalten und es gelten
die folgenden unmittelbar einleuchtenden Regeln:
Bei einem Kniffel ist man schon am Ziel.
Bei einen Vierling, Drilling oder Zwilling wird nur der Vierling, Drilling oder Zwilling behalten.
Bei einem Full House wird nur der Drilling behalten.
Bei zwei Zwillingen wird nur ein Zwilling behalten, egal welcher.
Bei fünf Einlingen wird nur ein Einling behalten, egal welcher. Es ist allerdings genau so optimal,
alles zu verwerfen und komplett neu zu würfeln.
Die folgende Zusammenstellung enthält die 15 möglichen Fälle zum Erzielen eines Kniffels mit den entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten p
bei optimaler Strategie. Die in Klammern gesetzten und durch Schrägstriche abgetrennten 5 verschiedenen Kategorien geben an, was nach dem
ersten, zweiten und dritten Wurf erreicht sein soll, sofern man nicht schon vorher einen Kniffel erzielt hat.
Entsprechend sind die in den Klammern stehenden Brüche die Wahrscheinlichkeiten zum Erreichen der jeweils angegebenen Kategorien:
p1 = 6/7776 = 1/1296 = 0,077160% (Kniffel / - / -)
p2 = (150/7776)·(1/6) = 25/7776 = 0,321502% (Vierling / Kniffel / -)
p3 = (150/7776)·(5/6)·(1/6) = 125/46656 = 0,267918% (Vierling / Vierling / Kniffel)
p4 = (1500/7776)·(1/36) = 125/23328 = 0,535837% (Drilling oder Full House / Kniffel / -)
p5 = (1500/7776)·(10/36)·(1/6) = 625/69984 = 0,893061% (Drilling oder Full House / Vierling / Kniffel)
p6 = (1500/7776)·(25/36)·(1/36) = 3125/839808 = 0,372109% (Drilling oder Full House / Drilling oder Full House / Kniffel)
p7 = (5400/7776)·(1/216) = 25/7776 = 0,321502% (Zwilling oder 2 Zwillinge / Kniffel / -)
p8 = (5400/7776)·(15/216)·(1/6) = 125/15552 = 0,803755% (Zwilling oder 2 Zwillinge / Vierling / Kniffel)
p9 = (5400/7776)·(80/216)·(1/36) = 125/17496 = 0,714449% (Zwilling oder 2 Zwillinge / Drilling oder Full House / Kniffel)
p10 = (5400/7776)·(120/216)·(1/216) = 125/69984 = 0,178612% (Zwilling oder 2 Zwillinge / Zwilling oder 2 Zwillinge / Kniffel)
p11 = (720/7776)·(1/1296) = 5/69984 = 0,007144% (Einlinge / Kniffel / -)
p12 = (720/7776)·(25/1296)·(1/6) = 125/419904 = 0,029769% (Einlinge / Vierling / Kniffel)
p13 = (720/7776)·(250/1296)·(1/36) = 625/1259712 = 0,049615% (Einlinge / Drilling oder Full House / Kniffel)
p14 = (720/7776)·(900/1296)·(1/216) = 125/419904 = 0,029769% (Einlinge / Zwilling oder 2 Zwillinge / Kniffel)
p15 = (720/7776)·(120/1296)·(1/1296) = 25/3779136 = 0,000662% (Einlinge / Einlinge / Kniffel)
Die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich durch Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten und führt
auf den schon oben angegebenen Wert:
pgesamt = 347.897/7.558.272 = 4,602864%
Nach einem Wurf beträgt die Wahrscheinlichkeit übrigens 1/1296 = 0,077160% (mittlere Punktzahl: 25/648 = 0,038580)
und nach zwei Würfen 221/17.496 = 1,263146% (mittlere Punktzahl: 0,631573).
Die Wahrscheinlichkeiten für das Erzielen eines Kniffels mit mehr als drei Würfen (bis zu 60 Würfen) findet man auf der Kniffel-Strategie-Seite.
Würde man mit optimaler Strategie solange weiterwürfeln, bis man einen Kniffel erzielt hat, dann bräuchte man dafür im Mittel 11,090155 Würfe.
Die Wahrscheinlichkeit, mit 3 Würfen bei optimaler Strategie ein Full House zu erzielen, beträgt 36,288288%.
Daraus ergibt sich eine mittlere Punktzahl von 9,072072.
Für die optimale Strategie gelten die folgenden relativ einfach abzuleitenden Regeln sowohl nach dem ersten als auch nach dem zweiten Wurf,
wobei die jeweils optimale Strategie mit stochastischen Überlegungen durch Vergleich mit anderen Strategien und deren zugehörigen Wahrscheinlichkeiten ermittelt werden kann:
Bei einem Kniffel wird davon nur ein Drilling behalten.
Bei einem Vierling wird davon ein Drilling und außerdem der übrige Einling behalten.
Würde nach dem zweiten Wurf der Einling nicht behalten, betrüge die Wahrscheinlichkeit für ein Full House nur 5/36 statt 6/36
(siehe Einzelwahrscheinlichkeiten für alternative Strategien).
Nach dem ersten Wurf wäre die Wahrscheinlichkeit 365/1296 statt 396/1296, wenn man dann nach dem zweiten Wurf optimal entscheidet.
Bei einem Full House behält man alles und ist am Ziel.
Bei einem Drilling und zwei Einlingen werden der Drilling und ein Einling behalten, egal welcher.
Würde nach dem zweiten Wurf kein Einling behalten, betrüge die Wahrscheinlichkeit für ein Full House nur 5/36 statt 6/36.
Nach dem ersten Wurf wäre die Wahrscheinlichkeit 365/1296 statt 396/1296, wenn man dann nach dem zweiten Wurf optimal entscheidet.
Bei zwei Zwillingen und einem Einling werden nur die beiden Zwillinge behalten.
Bei einem Zwilling und drei Einlingen wird nur der Zwilling behalten, jedoch kein Einling.
Würde nach dem zweiten Wurf ein Einling behalten, betrüge die Wahrscheinlichkeit für ein Full House nur 18/216 statt 20/216.
Nach dem ersten Wurf wäre die Wahrscheinlichkeit 2076/7776 statt 2095/7776, wenn man nach dem zweiten Wurf optimal entscheidet.
Bei fünf Einlingen wird entweder ein Einling behalten oder komplett neu gewürfelt.
Die folgende Zusammenstellung enthält die 19 möglichen Fälle zum Erzielen eines Full House mit den entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten p
bei optimaler Strategie. Die in Klammern gesetzten und durch Schrägstriche abgetrennten 6 verschiedenen Kategorien geben an, was nach dem
ersten, zweiten und dritten Wurf erreicht sein soll, sofern man nicht schon vorher ein Full House erzielt hat.
Entsprechend sind die in den Klammern stehenden Brüche die Wahrscheinlichkeiten zum Erreichen der jeweils angegebenen Kategorien:
p1 = 300/7776 = 25/648 = 3,858025% (Full House / - / -)
p2 = (1800/7776)·(2/6) = 25/324 = 7,716049% (2 Zwillinge / Full House / -)
p3 = (1800/7776)·(4/6)·(2/6) = 25/486 = 5,144033% (2 Zwillinge / 2 Zwillinge / Full House)
p4 = (1350/7776)·(1/6) = 25/864 = 2,893519% (Drilling oder Vierling / Full House / -)
p5 = (1350/7776)·(5/6)·(1/6) = 125/5184 = 2,411265% (Drilling oder Vierling / Drilling oder Vierling / Full House)
p6 = (6/7776)·(5/36) = 5/46656 = 0,010717% (Kniffel / Full House / -)
p7 = (6/7776)·(30/36)·(1/6) = 5/46656 = 0,010717% (Kniffel / Drilling oder Vierling / Full House)
p8 = (6/7776)·(1/36)·(5/36) = 5/1679616 = 0,000298% (Kniffel / Kniffel / Full House)
p9 = (3600/7776)·(20/216) = 125/2916 = 4,286694% (Zwilling / Full House / -)
p10 = (3600/7776)·(60/216)·(2/6) = 125/2916 = 4,286694% (Zwilling / 2 Zwillinge / Full House)
p11 = (3600/7776)·(75/216)·(1/6) = 625/23328 = 2,679184% (Zwilling / Drilling oder Vierling / Full House)
p12 = (3600/7776)·(1/216)·(5/36) = 125/419904 = 0,029769% (Zwilling / Kniffel / Full House)
p13 = (3600/7776)·(60/216)·(20/216) = 625/52488 = 1,190748% (Zwilling / Zwilling / Full House)
p14 = (720/7776)·(50/1296) = 125/34992 = 0,357225% (Einlinge / Full House / -)
p15 = (720/7776)·(300/1296)·(2/6) = 125/17496 = 0,714449% (Einlinge / 2 Zwillinge / Full House)
p16 = (720/7776)·(225/1296)·(1/6) = 125/46656 = 0,267918% (Einlinge / Drilling oder Vierling / Full House)
p17 = (720/7776)·(1/1296)·(5/36) = 25/2519424 = 0,000992% (Einlinge / Kniffel / Full House)
p18 = (720/7776)·(600/1296)·(20/216) = 625/157464 = 0,396916% (Einlinge / Zwilling / Full House)
p19 = (720/7776)·(120/1296)·(50/1296) = 625/1889568 = 0,033076% (Einlinge / Einlinge / Full House)
Die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich durch Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten
und führt auf den schon oben angegebenen Wert:
pgesamt = 5.485.535/15.116.544 = 36,288288%
Nach einem Wurf beträgt die Wahrscheinlichkeit übrigens 25/648 = 3,858025% (mittlere Punktzahl: 625/648 = 0,964506)
und nach zwei Würfen 26.765/139.968 = 19,122228% (mittlere Punktzahl: 4,780557).
Anmerkung: In seltenen Fällen wird so gespielt, dass beim Full House der Drilling und der Zwilling auch die gleichen Augenzahlen haben dürfen,
dass ein Kniffel also auch als Full House zählt. Dann ist die Wahrscheinlichkeit für ein Full House gleich 36,614480%,
der Erwartungswert ist gleich 9,153620 Punkte und der Erwartungswert für das ganze Kniffel-Spiel beträgt 245,904728 Punkte.
Die mittlere Punktzahl für eine Chance beträgt mit 3 Würfen bei optimaler Strategie 23,333333.
Bei optimaler Strategie werden nach dem ersten Wurf nur die Fünfen und Sechsen behalten.
Nach dem zweiten Wurf werden nur die Vieren, Fünfen und Sechsen behalten.
Herleitung: Zur Berechnung der mittleren Punktzahl für eine Chance braucht man zunächst nur einen Würfel betrachten,
weil die Strategie für jeden der fünf Würfel nicht von den Augenzahlen der anderen Würfel abhängt.
Hat man nur einen Wurf mit einem Würfel, beträgt die mittlere Punktzahl (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 7/2, da die Wahrscheinlichkeit ja für alle Augenzahlen gleich ist.
Darf man zweimal würfeln, so ist Wahrscheinlichkeit beim ersten Wurf 50%, eine 1, 2 oder 3 zu bekommen.
In diesem Fall wird man noch einen zweiten Wurf machen, da man dann im Mittel mehr als 3 Punkte erwarten kann, nämlich 7/2 = 3,5 Punkte.
Würfelt man dagegen eine 4, 5 oder 6, macht es keinen Sinn, weiter zu würfeln, weil man dann im Mittel weniger als 4 Punkte bekäme.
Insgesamt beträgt die mittlere Punktzahl bei maximal 2 Würfen also 50% · (1+2+3+4+5+6)/6 + 50% · (4+5+6)/3 = 1/2 · 7/2 + 1/2 · 5 = 17/4.
Darf man dagegen dreimal würfeln (wie hier angenommen) und erhält man beim ersten Wurf eine 1, 2, 3 oder 4, so wird man weiterwürfeln,
da man bei noch zwei weiteren Würfen im Mittel ja 17/4 = 4,25 Punkte erwarten kann. Dagegen wird man sofort aufhören, wenn man eine 5 oder 6 bekommen hat.
Die mittlere Punktzahl bei 3 Würfen ist somit 2/3 · 17/4 + 1/3 · (5+6)/2 = 14/3.
Alle 5 Würfel kommen dann mit 3 Würfen auf eine mittlere Punktzahl von 5 · 14/3 = 70/3 = 23,333333.
Nach einem Wurf beträgt die mittlere Punktzahl übrigens 5 · 7/2 = 35/2 = 17,500000 und nach zwei Würfen 5 · 17/4 = 85/4 = 21,250000.
Die Wahrscheinlichkeiten, mit dieser Strategie eine bestimmte Summe der Augenzahlen zu erzielen, findet man auf der
Kniffel-Strategie-Seite.
Die mittlere Punktzahl für Einser beträgt bei optimaler Strategie 2,106481 oder 455/216.
Die mittlere Punktzahl für Zweier beträgt bei optimaler Strategie 4,212963 oder 455/108.
Die mittlere Punktzahl für Dreier beträgt bei optimaler Strategie 6,319444 oder 455/72.
Die mittlere Punktzahl für Vierer beträgt bei optimaler Strategie 8,425926 oder 455/54.
Die mittlere Punktzahl für Fünfer beträgt bei optimaler Strategie 10,532407 oder 2275/216.
Die mittlere Punktzahl für Sechser beträgt bei optimaler Strategie 12,638889 oder 455/36.
Bei optimaler Strategie werden sowohl nach dem ersten als auch nach dem zweiten Wurf natürlich nur die Einsen bzw. die Zweien,
Dreien, Vieren, Fünfen oder Sechsen behalten.
Herleitung: Als Beispiel seien zur Berechnung der mittleren Punktzahl die Sechser genommen. Man braucht auch nur einen Würfel zu betrachten,
da die Strategie für die einzelnen Würfel voneinander unabhängig ist. Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel bei maximal
drei Würfen eine Sechs zu erzielen, ist gleich 1 minus der Wahrscheinlichkeit, bei genau drei Würfen keine Sechs zu erzielen.
Sie beträgt 1 – (5/6)3 = 1 – 125/216 = 91/216 = 42,130%. Die mittlere Punktzahl bei 5 Würfeln beträgt für Sechser dann
5 · 6 · 91/216 = 455/36 = 12,638889. Der Erwartungswert für die Anzahl der Sechsen ist gleich 5 · 91/216 = 2,106481.
Die folgenden Formeln geben die jeweilige Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der erreichten Einsen, Zweien, Dreien, Vieren, Fünfen
oder Sechsen an:
Keine Sechs: (50) · ((5/6)3)5 · (1 – (5/6)3)0 = 6,491%
Eine Sechs: (51) · ((5/6)3)4 · (1 – (5/6)3)1 = 23,626%
Zwei Sechsen: (52) · ((5/6)3)3 · (1 – (5/6)3)2 = 34,399%
Drei Sechsen: (53) · ((5/6)3)2 · (1 – (5/6)3)3 = 25,042%
Vier Sechsen: (54) · ((5/6)3)1 · (1 – (5/6)3)4 = 9,115%
Fünf Sechsen: (55) · ((5/6)3)0 · (1 – (5/6)3)5 = 1,327%
Herleitung: Die Wahrscheinlichkeit, für z.B. genau zwei Sechsen in 3 Würfen
z.B. genau die Reihenfolge keine 6, keine 6, keine 6, 6, 6 zu erzielen, beträgt:
(5/6)3 · (5/6)3 · (5/6)3 · (1 – (5/6))3 · (1 – (5/6))3 = ((5/6)3)3 · (1 – (5/6)3)2
Insgesamt gibt es zum Erzielen von genau 2 Sechsen aber nicht nur diese Reihenfolge,
sondern (52) = 5! / (2! · 3!) = 10 verschiedene Reihenfolgen (Permutationen mit Wiederholung).
Die Wahrscheinlichkeit für fünf Sechsen in 3 Würfen ist auch die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser-Kniffel und gleichzeitig auch die Wahrscheinlichkeit,
im Kniffel-Spiel 30 Punkte beim Sechser, beim Dreierpasch, beim Viererpasch oder bei der Chance zu erzielen.
Diese Wahrscheinlichkeit gilt allerdings nicht für die beim Dreierpasch, beim Viererpasch oder bei der Chance normalerweise übliche
Strategie, möglichst viele Punkte zu erreichen. Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten sind geringer. Für die Chance findet man
diese Wahrscheinlichkeit auf der Kniffel-Strategie-Seite.
Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs in 3 Würfen: 1 – ((5/6)5)3 = 93,509453%
Herleitung: Die Wahrscheinlichkeit, mit 3 Würfen und 5 Würfeln keine 6 zu erzielen, beträgt ((5/6)5)3.
Ein minus dieser Wahrscheinlichkeit ist dann die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs.
Nach einem Wurf beträgt die mittlere Punktzahl übrigens für Sechser 30/6 = 5,000000 und nach zwei Würfen 55/6 = 9,166667.
Außerdem beträgt die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs nach einem Wurf 1 – (5/6)5 = 59,812243%
und nach zwei Würfen 1 – ((5/6)5)2 = 83,849442%.
Die Wahrscheinlichkeit, mit 3 Würfen bei optimaler Strategie eine große Straße zu erzielen, beträgt 26,109502%.
Daraus ergibt sich eine mittlere Punktzahl von 10,443801.
Die optimale Strategie zum Erreichen einer großen Straße kann mit stochastischen Überlegungen durch Vergleich mit anderen
Strategien und deren zugehörigen Wahrscheinlichkeiten ermittelt werden. Bei optimaler Strategie werden sowohl
nach dem ersten als auch nach dem zweiten Wurf zunächst alle eventuell vorhandenen Mehrlinge auf Einlinge reduziert.
Davon wird auf jeden Fall, falls vorhanden, die 2, 3, 4 und 5 behalten. Ist sowohl eine 1 als auch eine 6 vorhanden, wird entweder
die 1 oder die 6 behalten. Dann wird jeweils die Anzahl der noch vorhandenen Einlinge bestimmt.
Die verbliebenen Würfel werden dann in die folgenden Kategorien eingeteilt: Ein innerer 1er, 2er, 3er oder 4er sind dann 1, 2, 3 oder 4 Würfel,
bei denen nur Augenzahlen von 2 bis 5 vorkommen. Ein äußerer 1er, 2er, 3er oder 4er bezeichnet 0, 1, 2 oder 3 Würfel mit Augenzahlen von 2 bis 5 und
ein Würfel mit der Augenzahl 1 oder 6. Ein innerer 3er ist z.B. 245 oder 234. Ein äußerer 3er kann z.B. 256 oder 134 sein.
Nach dem ersten Wurf gelten dann die weiteren Regeln:
Bei einer großen Straße ist man am Ziel.
Bei einer kleinen Straße wird diese komplett behalten.
Bei vier Einlingen wird eine eventuell vorhandene Eins oder Sechs behalten.
Würde die Eins oder Sechs verworfen, betrüge die Wahrscheinlichkeit für eine große Straße nur 10/36 statt 11/36.
Bei drei Einlingen wird eine eventuell vorhandene Eins oder Sechs verworfen.
Würde die Eins oder Sechs behalten, betrüge die Wahrscheinlichkeit für eine große Straße nur 1272/7776 statt 1432/7776
(siehe Einzelwahrscheinlichkeiten für alternative Strategien).
Bei zwei Einlingen wird eine eventuell vorhandene Eins oder Sechs verworfen.
Würde die Eins oder Sechs behalten, betrüge die Wahrscheinlichkeit für eine große Straße nur 906/7776 statt 1133/7776.
Bei einem Einling wird eine eventuell vorhandene Eins oder Sechs verworfen. Es wird dann komplett neu gewürfelt.
Würde die Eins oder Sechs behalten, betrüge die Wahrscheinlichkeit für eine große Straße nur 985.920/10.077.696 statt 1.307.552/10.077.696.
Die nichtoptimalen Wahrscheinlichkeiten gelten, wenn man dann nach dem zweiten Wurf optimal entscheidet.
Nach dem zweiten Wurf gelten dann - anders als nach dem ersten Wurf - diese weiteren Regeln:
Bei einer großen Straße ist man am Ziel.
Bei einer kleinen Straße wird diese komplett behalten.
Bei vier Einlingen wird eine eventuell vorhandene Eins oder Sechs behalten.
Würde die Eins oder Sechs verworfen, betrüge die Wahrscheinlichkeit für eine große Straße nur 4/36 statt 6/36.
Bei drei Einlingen kann eine eventuell vorhandene Eins oder Sechs entweder behalten oder verworfen werden.
In beiden Fällen beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine große Straße 2/36.
Bei zwei Einlingen wird eine eventuell vorhandene Eins oder Sechs verworfen.
Würde die Eins oder Sechs behalten, betrüge die Wahrscheinlichkeit für eine große Straße nur 6/216 statt 8/216.
Bei einem Einling wird eine eventuell vorhandene Eins oder Sechs verworfen. Es wird dann komplett neu gewürfelt.
Würde die Eins oder Sechs behalten, betrüge die Wahrscheinlichkeit für eine große Straße nur 24/1296 statt 40/1296.
Die folgende Zusammenstellung enthält die 27 möglichen Fälle zum Erzielen einer großen Straße mit den entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten p
bei optimaler Strategie. Die in Klammern gesetzten und durch Schrägstriche abgetrennten 7 verschiedenen Kategorien geben an, was nach dem
ersten, zweiten und dritten Wurf erreicht sein soll, sofern man nicht schon vorher eine große Straße erzielt hat.
Entsprechend sind die in den Klammern stehenden Brüche die Wahrscheinlichkeiten zum Erreichen der jeweils angegebenen Kategorien:
p1 = 240/7776 = 3,086420% (große Straße / - / -)
p2 = (240/7776)·(2/6) = 1,028807% (innerer 4er / große Straße / -)
p3 = (240/7776)·(4/6)·(2/6) = 0,685871% (innerer 4er / innerer 4er / große Straße)
p4 = (2400/7776)·(1/6) = 5,144033% (äußerer 4er / große Straße / -)
p5 = (2400/7776)·(5/6)·(1/6) = 4,286694% (äußerer 4er / äußerer 4er / große Straße)
p6 = (600/7776)·(4/36) = 0,857339% (innerer 3er / große Straße / -)
p7 = (600/7776)·(7/36)·(2/6) = 0,500114% (innerer 3er / innerer 4er / große Straße)
p8 = (600/7776)·(16/36)·(1/6) = 0,571559% (innerer 3er / äußerer 4er / große Straße)
p9 = (600/7776)·(9/36)·(4/36) = 0,214335% (innerer 3er / innerer 3er / große Straße)
p10 = (3420/7776)·(12/216) = 2,443416% (äußerer 3er oder innerer 2er / große Straße / -)
p11 = (3420/7776)·(18/216)·(2/6) = 1,221708% (äußerer 3er oder innerer 2er / innerer 4er / große Straße)
p12 = (3420/7776)·(84/216)·(1/6) = 2,850652% (äußerer 3er oder innerer 2er / äußerer 4er / große Straße)
p13 = (3420/7776)·(38/216)·(4/36) = 0,859720% (äußerer 3er oder innerer 2er / innerer 3er / große Straße)
p14 = (3420/7776)·(64/216)·(12/216) = 0,723975% (äußerer 3er oder innerer 2er / äußerer 3er oder innerer 2er / große Straße)
p15 = (844/7776)·(48/1296) = 0,401997% (äußerer 2er oder innerer 1er / große Straße / -)
p16 = (844/7776)·(60/1296)·(2/6) = 0,167499% (äußerer 2er oder innerer 1er / innerer 4er / große Straße)
p17 = (844/7776)·(432/1296)·(1/6) = 0,602995% (äußerer 2er oder innerer 1er / äußerer 4er / große Straße)
p18 = (844/7776)·(150/1296)·(4/36) = 0,139582% (äußerer 2er oder innerer 1er / innerer 3er / große Straße)
p19 = (844/7776)·(525/1296)·(12/216) = 0,244269% (äußerer 2er oder innerer 1er / äußerer 3er oder innerer 2er / große Straße)
p20 = (844/7776)·(81/1296)·(48/1296) = 0,025125% (äußerer 2er oder innerer 1er / äußerer 2er oder innerer 1er / große Straße)
p21 = (32/7776)·(240/7776) = 0,012701% (äußerer 1er / große Straße / -)
p22 = (32/7776)·(240/7776)·(2/6) = 0,004234% (äußerer 1er / innerer 4er / große Straße)
p23 = (32/7776)·(2400/7776)·(1/6) = 0,021169% (äußerer 1er / äußerer 4er / große Straße)
p24 = (32/7776)·(600/7776)·(4/36) = 0,003528% (äußerer 1er / innerer 3er / große Straße)
p25 = (32/7776)·(3420/7776)·(12/216) = 0,010055% (äußerer 1er / äußerer 3er oder innerer 2er / große Straße)
p26 = (32/7776)·(844/7776)·(48/1296) = 0,001654% (äußerer 1er / äußerer 2er oder innerer 1er / große Straße)
p27 = (32/7776)·(32/7776)·(240/7776) = 0,000052% (äußerer 1er / äußerer 1er / große Straße)
Die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich durch Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten
und führt auf den schon oben angegebenen Wert:
pgesamt = 319.695.199/1.224.440.064 = 26,109502%
Nach einem Wurf beträgt die Wahrscheinlichkeit übrigens 5/162 = 3,086420% (mittlere Punktzahl: 100/81 = 1,234568)
und nach zwei Würfen 40.861/314.928 = 12,974712% (mittlere Punktzahl: 5,189885).
Die Wahrscheinlichkeit, mit 3 Würfen bei optimaler Strategie eine kleine Straße zu erzielen, beträgt 61,544231%.
Daraus ergibt sich eine mittlere Punktzahl von 18,463269.
Bei optimaler Strategie werden sowohl nach dem ersten als auch nach dem zweiten Wurf zunächst alle eventuell vorhandenen Mehrlinge auf Einlinge reduziert.
Dann wird jeweils die Anzahl der noch vorhandenen Einlinge bestimmt.
Nach dem ersten und dem zweiten Wurf gelten dann die weiteren Regeln:
Bei einer großen Straße ist man am Ziel.
Bei fünf Einlingen, die keine große Straße sind, gibt es nur 2 Fälle.
Bei 12356 behält man entweder 123, 235 oder 356.
Bei 12456 behält man entweder 124, 245 oder 456.
Bei einer kleinen Straße ist man am Ziel.
Bei vier Einlingen gelten für die folgenden Einzelfälle die dazugeschriebenen Regeln:
1235 nach 123 oder 235
1236 nach 123
1245 nach 124 oder 245
1246 nach 124
1256 wird komplett verworfen
1345 nach 345
1346 nach 34 (Nach dem zweiten Wurf kann auch 134 oder 346 behalten werden.)
1356 nach 356
1456 nach 456
2346 nach 234
2356 nach 235 oder 356
2456 nach 245 oder 456
Bei drei Einlingen gelten für die folgenden Einzelfälle die dazugeschriebenen Regeln:
123 nach 123
124 nach 124
125 wird komplett verworfen
126 wird komplett verworfen
134 nach 34 (Nach dem zweiten Wurf kann auch 134 behalten werden.)
135 nach 35
136 nach 3
145 nach 45
146 nach 4
156 wird komplett verworfen
234 nach 234
235 nach 235
236 nach 23
245 nach 245
246 nach 24
256 wird komplett verworfen
345 nach 345
346 nach 34 (Nach dem zweiten Wurf kann auch 346 behalten werden.)
356 nach 356
456 nach 456
Bei zwei Einlingen werden die eventuell vorhandenen Einsen und Sechsen verworfen.
Die 2 wird nur behalten, wenn sie zusammen mit einer 3 oder 4 auftritt. Dasselbe gilt für die 5.
Ein Einling, der eine 1, 2, 5 oder 6 ist, wird verworfen. Es wird dann komplett neu gewürfelt.
Die verbliebenen Würfel werden dann in die folgenden Kategorien eingeteilt: Ein innerer 1er oder 2er sind dann 1 bzw. 2 Würfel mit den Augenzahlen 3 oder 4.
Ein mittlerer 2er oder 3er sind 2 bzw. 3 Würfel, wobei jeweils 1 Würfel die Augenzahlen 2 oder 5 hat und die restlichen Würfel die Augenzahlen 3 oder 4 haben
(Beispiel für einen mittleren 3er: 234 oder 345). Bei einem doppelt mittleren 3er gibt es 2 Würfel mit den Augenzahlen 2 und 5 und 1 Würfel mit der Augenzahl 3 oder 4.
Schließlich besteht ein äußerer 3er aus 3 Würfeln, von denen zwei die Augenzahlen 1 und 2 oder 5 und 6 und der letzte die Augenzahlen 3 oder 4 hat (Beispiel: 123 oder 356).
Die folgende Zusammenstellung enthält die 25 möglichen Fälle zum Erzielen einer kleinen Straße
mit den entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten p für die eben erwähnte optimale Strategie. Die in Klammern
gesetzten und durch Schrägstriche abgetrennten 7 verschiedenen Kategorien geben an, was nach dem
1., 2. und 3. Wurf erreicht sein soll, sofern man nicht schon vorher eine kleine Straße erzielt hat.
Entsprechend sind die in den Klammern stehenden Brüche die Wahrscheinlichkeiten zum Erreichen
der jeweils angegebenen Kategorien:
p1 = 1200/7776 = 15,432099% (kleine Straße / - / -)
p2 = (780/7776)·(20/36) = 5,572702% (mittlerer 3er / Kleine Straße / -)
p3 = (780/7776)·(16/36)·(20/36) = 2,476757% (mittlerer 3er / mittlerer 3er / kleine Straße)
p4 = (570/7776)·(78/216) = 2,647034% (innerer 2er / kleine Straße / -)
p5 = (570/7776)·(74/216)·(20/36) = 1,395160% (innerer 2er / mittlerer 3er / kleine Straße)
p6 = (570/7776)·(64/216)·(78/216) = 0,784306% (innerer 2er / innerer 2er / kleine Straße)
p7 = (3060/7776)·(11/36) = 12,024177% (doppelt mittlerer 3er oder äußerer 3er / kleine Straße / -)
p8 = (3060/7776)·(25/36)·(11/36) = 8,350123% (doppelt mittlerer 3er oder äußerer 3er / doppelt mittlerer 3er oder äußerer 3er / kleine Straße)
p9 = (720/7776)·(54/216) = 2,314815% (mittlerer 2er / kleine Straße / -)
p10 = (720/7776)·(37/216)·(20/36) = 0,881154% (mittlerer 2er / mittlerer 3er / kleine Straße)
p11 = (720/7776)·(98/216)·(11/36) = 1,283627% (mittlerer 2er / doppelt mittlerer 3er oder äußerer 3er / kleine Straße)
p12 = (720/7776)·(27/216)·(54/216) = 0,289352% (mittlerer 2er / mittlerer 2er / kleine Straße)
p13 = (422/7776)·(276/1296) = 1,155740% (innerer 1er / kleine Straße / -)
p14 = (422/7776)·(220/1296)·(20/36) = 0,511801% (innerer 1er / mittlerer 3er / kleine Straße)
p15 = (422/7776)·(175/1296)·(78/216) = 0,264625% (innerer 1er / innerer 2er / kleine Straße)
p16 = (422/7776)·(414/1296)·(11/36) = 0,529714% (innerer 1er / doppelt mittlerer 3er oder äußerer 3er / kleine Straße)
p17 = (422/7776)·(130/1296)·(54/216) = 0,136093% (innerer 1er / mittlerer 2er / kleine Straße)
p18 = (422/7776)·(81/1296)·(276/1296) = 0,072234% (innerer 1er / innerer 1er / kleine Straße)
p19 = (1024/7776)·(1200/7776) = 2,032211% (nichts / kleine Straße / -)
p20 = (1024/7776)·(780/7776)·(20/36) = 0,733854% (nichts / mittlerer 3er / kleine Straße)
p21 = (1024/7776)·(570/7776)·(78/216) = 0,348581% (nichts / innerer 2er / kleine Straße)
p22 = (1024/7776)·(3060/7776)·(11/36) = 1,583431% (nichts / doppelt mittlerer 3er oder äußerer 3er / kleine Straße)
p23 = (1024/7776)·(720/7776)·(54/216) = 0,304832% (nichts / mittlerer 2er / kleine Straße)
p24 = (1024/7776)·(422/7776)·(276/1296) = 0,152196% (nichts / innerer 1er / kleine Straße)
p25 = (1024/7776)·(1024/7776)·(1200/7776) = 0,267616% (nichts / nichts / kleine Straße)
Die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich durch Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten
und führt auf den schon oben angegebenen Wert:
pgesamt = 61,544231%
Nach einem Wurf beträgt die Wahrscheinlichkeit übrigens 25/162 = 15,432099% (mittlere Punktzahl: 125/27 = 4,629630)
und nach zwei Würfen 259.367/629.856 = 41,178777% (mittlere Punktzahl: 12,353633).
Die mittlere Punktzahl für einen Viererpasch mit drei Würfen beträgt bei dafür optimaler Strategie 5,611263.
Bei optimaler Strategie gelten die folgenden Regeln nach dem ersten Wurf:
Bei einen Kniffel aus Fünfen oder Sechsen wird alles behalten und man ist am Ziel.
Bei einem Kniffel aus Einsen, Zweien, Dreien oder Vieren behält man nur einen Vierling.
Bei einem Vierling wird dieser behalten, der übrige Einling nur dann, wenn er eine Fünf oder Sechs ist.
Bei einem Full House behält man nur den Drilling, es sei denn, man hat 11144, 11155 oder 11166.
Dann behält man verblüffenderweise nur den Zwilling.
Bei einem Drilling und zwei Einlingen wird nur der Drilling behalten.
Bei zwei Zwillingen und einem Einling wird nur der Zwilling mit der höchsten Augenzahl behalten.
Ausgenommen ist der Fall 11226. Hier wird nur die 6 behalten.
Bei einem Zwilling und drei Einlingen wird nur der Zwilling behalten, wenn es sich dabei um Zweien, Dreien, Vieren,
Fünfen oder Sechsen handelt.
Ausgenommen ist der Fall, dass der Zwilling aus Zweien besteht und ein Einling eine 6 ist. Dann wird nur die 6 behalten.
Besteht der Zwilling aus Einsen, wird nur der Einling mit der höchsten Augenzahl behalten, der Zwilling wird verworfen.
Bei fünf Einlingen wird nur der Einling mit der höchsten Augenzahl behalten.
Nach dem zweiten Wurf gelten - anders als nach dem ersten Wurf - diese Regeln:
Bei einem Kniffel aus Vieren, Fünfen oder Sechsen wird alles behalten und man ist am Ziel.
Bei einem Kniffel aus Einsen, Zweien oder Dreien behält man nur einen Vierling.
Bei einem Vierling wird dieser behalten, der übrige Einling nur dann, wenn er eine Vier, Fünf oder Sechs ist.
Bei einem Full House behält man nur den Drilling.
Bei einem Drilling und zwei Einlingen wird nur der Drilling behalten.
Bei zwei Zwillingen und einem Einling wird nur der Zwilling mit der höchsten Augenzahl behalten.
Bei einem Zwilling und drei Einlingen wird nur der Zwilling behalten, jedoch kein Einling.
Bei fünf Einlingen wird nur der Einling mit der höchsten Augenzahl behalten.
Herleitung: Für einen Viererpasch nach einen Wurf lässt sich die oben erwähnte mittlere Punktzahl noch mit Stochastik-Überlegungen auf folgende Weise ermitteln:
Für einen Viererpasch gibt es zunächst die folgenden 30 Kombinationen, wobei das x jeweils für eine der 5 Augenzahlen steht:
1111x, 2222x, 3333x, 4444x, 5555x und 6666x
Die Summe der Augenzahlen aller 30 Kombinationen beträgt 4 · 5 · (1+2+3+4+5+6) + 5 · (1+2+3+4+5+6) = 20 · 21 + 5 · 21 = 420 + 105 = 525.
Man beachte bei dieser Berechnung, dass die x insgesamt 30 Augenzahlen repräsentieren und dass darunter alle 6 Augenzahlen gleich häufig vorkommen.
Für jede Kombination gibt es aber noch 5 Permutationen, weil das x ja jeweils an jeder der 5 Stellen stehen kann.
Also beträgt die Summe der Augenzahlen aller Variationen 5 · 525 = 2625.
Schließlich fehlen noch die 6 Kniffel, die ja auch als Viererpasch zählen. Die Summe der Augenzahlen dieser 6 Variationen beträgt 5 · 21 = 105.
Die Gesamtsumme der Augenzahlen aller 7776 Variationen beim Viererpasch beträgt also 2625 + 105 = 2730.
Deshalb ergibt sich ein Erwartungswert für einen Viererpasch nach einem Wurf von 2730/7776 = 0,351080.
Nach einem Wurf beträgt die mittlere Punktzahl übrigens 0,351080 und nach zwei Würfen 2,421513.
Um möglichst oft einen Viererpasch zu erzielen, muss man eine andere Strategie verfolgen. Informationen dazu und zur Berechnung
der Wahrscheinlichkeit findet man auf der Kniffel-Strategie-Seite.
Die mittlere Punktzahl für einen Dreierpasch mit drei Würfen beträgt bei dafür optimaler Strategie 15,194661.
Bei optimaler Strategie gelten die folgenden Regeln nach dem ersten Wurf:
Bei einen Kniffel aus Fünfen oder Sechsen wird alles behalten und man ist am Ziel.
Bei einem Kniffel aus Einsen, Zweien, Dreien oder Vieren behält man nur einen Drilling.
Bei einem Vierling wird zunächst nur ein Drilling behalten und vom Rest nur die Fünfen und Sechsen.
Bei einem Full House behält man den Drilling und vom Zwilling die Fünfen und Sechsen.
Ausnahmen sind 11133, 11144, 11155 und 11166. Hier wird verblüffenderweise nur der Zwilling behalten.
Bei einem Drilling und zwei Einlingen wird der Drilling behalten und von den Einlingen die Fünfen und Sechsen.
Bei zwei Zwillingen und einem Einling wird nur der Zwilling mit der höchsten Augenzahl behalten.
Ausgenommen sind die Fälle 11225, 11226, 11336 und 22336.
In den ersten beiden Fällen wird die 5 bzw. 6 und in den letzten beiden Fällen 336 behalten.
Bei einem Zwilling und drei Einlingen wird nur der Zwilling behalten, wenn es sich dabei um Vieren, Fünfen oder Sechsen handelt.
Besteht der Zwilling aus Dreien und ist ein Einling eine 6, so wird diese 6 zusätzlich behalten.
Besteht der Zwilling aus Zweien, werden nur diese Zweien behalten, wenn kein Einling eine 5 oder 6 ist.
Ist unter den Einlingen eine Fünf und/oder eine Sechs, werden die beiden Zweien verworfen und der Einling mit der höchsten
Augenzahl wird behalten.
Besteht der Zwilling aus Einsen, wird nur der Einling mit der höchsten Augenzahl behalten.
Bei fünf Einlingen wird nur der Einling mit der höchsten Augenzahl behalten.
Nach dem zweiten Wurf gelten - anders als nach dem ersten Wurf - diese Regeln:
Bei einen Kniffel aus Vieren, Fünfen oder Sechsen wird alles behalten und man ist am Ziel.
Bei einem Kniffel aus Einsen, Zweien oder Dreien behält man nur einen Drilling.
Bei einem Vierling wird zunächst nur ein Drilling behalten und vom Rest nur die Vieren, Fünfen und Sechsen.
Bei einem Full House behält man den Drilling und vom Zwilling die Vieren, Fünfen und Sechsen.
Bei einem Drilling und zwei Einlingen wird der Drilling behalten und von den Einlingen die Vieren, Fünfen und Sechsen.
Bei zwei Zwillingen und einem Einling wird nur der Zwilling mit der höchsten Augenzahl behalten.
Bei einem Zwilling und drei Einlingen wird nur der Zwilling behalten.
Ausgenommen ist der Fall, dass neben dem Zwilling 11 noch eine 6 vorhanden ist.
Dann kann statt des Zwillings auch die 6 behalten werden.
Bei fünf Einlingen wird nur der Einling mit der höchsten Augenzahl behalten.
Herleitung: Für einen Dreierpasch nach einen Wurf lässt sich die oben erwähnte mittlere Punktzahl noch mit Stochastik-Überlegungen auf folgende Weise ermitteln:
Für einen Dreierpasch gibt es zunächst die folgenden 60 Kombinationen, wobei x und y verschieden sind und für jeweils eine der 5 Augenzahlen stehen, die links nicht vorkommen:
111xy, 222xy, 333xy, 444xy, 555xy und 666xy
Da die x und y aus 5 Augenzahlen ausgewählt werden können, ergeben sich 5!/(3!·2!) = 10 Möglichkeiten und dadurch 10 · 6 = 60 Kombinationen.
Die Summe der Augenzahlen aller dieser 60 Kombinationen beträgt dann 10 · 3 · (1+2+3+4+5+6) + 5 · (1+2+3+4+5+6) = 30 · 21 + 20 · 21 = 630 + 420 = 1050.
Für jede Kombination gibt es aber noch 5!/3! = 20 Permutationen, weil x und y ja jeweils an jeder der 5 Stellen stehen können.
Also beträgt die Summe der Augenzahlen der Variationen 20 · 1050 = 21000.
Außerdem gibt es für einen Dreierpasch weitere 30 Kombinationen, wobei x für jeweils eine der 5 Augenzahlen steht, die links nicht vorkommen:
111xx, 222xx, 333xx, 444xx, 555xx und 666xx
Die Summe der Augenzahlen aller dieser 30 Kombinationen beträgt 5 · 3 · (1+2+3+4+5+6) + 10 · (1+2+3+4+5+6) = 15 · 21 + 10 · 21 = 315 + 210 = 525.
Für jede Kombination gibt es aber noch 5!/(3!·2!) = 10 Permutationen, weil die x ja jeweils an jeder der 5 Stellen stehen können.
Also beträgt die Summe der Augenzahlen der Variationen 10 · 525 = 5250.
Zusammen mit der Summe der Augenzahlen aller Variationen beim Viererpasch, der ja auch als Dreierpasch zählt,
ergibt sich die Gesamtsumme der Augenzahlen aller 7776 Variationen beim Dreierpasch zu 21.000 + 5250 + 2730 = 28.980.
Deshalb ergibt sich ein Erwartungswert für einen Dreierpasch in einem Wurf von 28.980/7776 = 3,726852.
Nach einem Wurf beträgt die mittlere Punktzahl übrigens 3,726852 und nach zwei Würfen 10,208705.
Um möglichst oft einen Dreierpasch zu erzielen, muss man eine andere Strategie verfolgen. Informationen dazu und zur Berechnung
der Wahrscheinlichkeit findet man auf der Kniffel-Strategie-Seite.
Copyright © Werner Brefeld (1998; Originalquelle)