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Lottosysteme, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
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Welches sind die besten Lottosysteme? Warum werden beim Lotto 6 aus 49 Kugeln gezogen?
Ein Lottosystem, bei dem eine bestimmte Anzahl Kugeln aus einer Menge von verschiedenen Kugeln gezogen werden,
könnte man nach den folgenden vernünftigen Kriterien auswählen:
1. Die Anzahl der Lottokugeln sollte höchstens 100 betragen.
Damit bleibt die Größe des Feldes übersichtlich, auf dem die Zahlen angekreuzt werden müssen.
2. Es sollten davon weniger als 10 Lottokugeln gezogen werden.
Damit bleibt es möglich, sich die Gewinnzahlen zu merken.
3. In der höchsten Gewinnklasse sollte der Gewinn im Mittel mindestens das Millionenfache des Einsatzes,
aber auch nicht wesentlich mehr betragen. Bei 2 Euro pro Tipp wären das etwa 2 Millionen Euro. Diese Summe reicht
normalerweise aus, ein finanziell sorgenfreies Leben zu ermöglichen. Statt einen Gewinner mit dem 50-Millionen-fachen
seines Einsatzes zu beglücken, sollte man besser 50 Gewinnern ihre finanziellen Sorgen nehmen.
4. Andererseits sollte der Gewinn in der tiefsten Gewinnklasse möglichst hoch sein,
mindestens jedoch das Dreifache des Einsatzes betragen.
Dann bekommt man als Reingewinn mindestens das Doppelte des Einsatzes und die Enttäuschung wird vermieden,
bei einem Gewinn kaum mehr als den Einsatz zurück zu erhalten.
5. Die Anzahl der richtigen Lottozahlen, bei der es noch keinen Gewinn gibt, sollte
möglichst klein sein, also höchstens eins oder zwei betragen.
Damit wird die Enttäuschung vermieden, trotz drei (oder mehr) richtiger Lottozahlen keinen Gewinn zu bekommen.
6. Die Gewinnchance von einer Gewinnklasse zur nächst tieferen sollte möglichst immer etwa um den
gleichen Faktor steigen.
Rechnet man jedoch die Gewinnchancen für verschiedene Lottosysteme in den verschiedenen Gewinnklassen aus, bemerkt man,
dass der Unterschied zwischen der höchsten und der zweithöchsten Gewinnklasse deutlich größer ist als zwischen
der zweittiefsten und tiefsten. Das kann man dadurch etwas ausgleichen, dass man zwischen der höchsten und der
zweithöchsten Gewinnklasse eine Gewinnklasse mit einer Art Zusatzzahl einschiebt.
7. Die Höhe der Gewinne sollte in gleichem Maße steigen, wie die Gewinnchancen sinken.
Damit kann man z.B. bei halber Gewinnchance einen doppelten Gewinn erwarten, was dem Gerechtigkeitsgefühl entspricht.
Um dieses Kriterium zu erfüllen, muss für jede Gewinnklasse der gleiche Geldbetrag zum Verteilen zur Verfügung stehen.
8. Es sollte etwa fünf Gewinnklassen geben.
Gibt es weniger Gewinnklassen, werden die Unterschiede zwischen den Gewinnen zu groß, gibt es mehr Gewinnklassen, dann wird
die Liste mit den verschiedenen Gewinnen langsam unübersichtlich. Fünf Gewinnklassen würde bedeuten, dass z.B. 4 reguläre Lottokugeln
und eine Lottokugel für eine Zusatzzahl gezogen werden. Beispielsweise gäbe es dann beim Lotto 7 aus 37
die Gewinnklassen 4 Richtige, 5 Richtige, 6 Richtige, 6 Richtige mit Zusatzzahl und 7 Richtige.
9. Mindestens die Hälfte des Geldes (besser deutlich mehr) sollte als Gewinn ausgezahlt werden.
Damit wird vermieden, dass die Lottogesellschaft mehr am Lottospiel verdient, als die Lottospieler insgesamt wieder
als Gewinne zurückbekommen.
Die letzten drei Kriterien bedeuten, dass für jede Gewinnklasse 10% des eingesetzten Geldes zur Verfügung
stehen sollte. Damit in der höchsten Gewinnklasse dann im Mittel das 1-Millionen-fache bis höchstens das 1,5-Millionen-fache des Einsatzes
gezahlt werden kann, muss dort die Gewinnchance zwischen 1 : 10 Millionen und 1 : 15 Millionen liegen. Unter Berücksichtigung
auch der ersten drei Kriterien wären folgende Lottosysteme geeignet:
Lotto 9 aus 29, Lotto 9 aus 30, Lotto 8 aus 32, Lotto 8 aus 33, Lotto 7 aus 37, Lotto 7 aus 38, Lotto 6 aus 47
Lotto 6 aus 48, Lotto 6 aus 49, Lotto 5 aus 68, Lotto 5 aus 69, Lotto 5 aus 70, Lotto 5 aus 71, Lotto 5 aus 72
Die entsprechenden Gewinnchancen errechnet man folgendermaßen (Beispiel Lotto 6 aus 49):
Gewinnchance: 1 : (496) = 1 : (49! / (6! · 43!)) = 1 : 13.983.816
Aus den Kriterien 5 und 8 folgt weiter, dass mindestens 4 und höchstens 6 Lottokugeln (plus der Lottokugel für eine Zusatzzahl)
gezogen werden sollten. Eine Ziehung von 4 regulären Kugeln unter höchstens 100 Kugeln ergibt aber zu geringe Gewinne
in der höchsten Gewinnklasse. Bei einer Ziehung von 5 regulären Kugeln wird in der tiefsten Gewinnklasse nicht
einmal der dreifache Einsatz als Gewinn erzielt. Übrig bleiben also in der Liste nur die Ziehungen von 6 regulären
Kugeln. Unter diesen 3 Lottosystemen erzielt Lotto 6 aus 49 den höchsten Gewinn in der tiefsten Gewinnklasse.
Demnach erfüllt das Lottosystem 6 aus 49 (incl. 5 Richtige mit Zusatzzahl) alle neun oben genannten Kriterien
am besten. Durch die Gewinnklassen "mit Superzahl" werden allerdings die Kriterien 3, 7 und 8 leider verletzt.
Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist für jeden Lotto-Tipp immer exakt gleich groß, egal, welche Lottozahlen man ankreuzt. Und da ein Lotto-System-Tipp
nichts anderes ist als eine bestimmte Anzahl genau definierter Lotto-Einzel-Tipps, ist es auch völlig gleichgültig, ob man einen System-Tipp abgibt
oder eine entsprechenden Anzahl von Einzel-Tipps. Zum Beispiel verbergen sich hinter einem System-Tipp bei Lotto 6 aus 49, bei dem man 10 Felder
ankreuzen kann, (106) = 10! / (6! · (10–6)!) = 1·2·3·4·5·6·7·8·9·10 / (1·2·3·4·5·6 · 1·2·3·4) = 3.628.800 / (720 · 24) = 3.628.800 / 17.280 = 210 Einzel-Tipps.
Man kann die Anzahl der Gewinne (in den verschiedenen Gewinnklassen) in keiner Weise durch einen System-Tipp erhöhen. Jeder Einzel-Tipps gewinnt entsprechend
den Gewinnwahrscheinlichkeiten für einen Einzel-Tipp, egal, ob er Teil eines System-Tipps ist, ob er zu einer Menge von Einzel-Tipps gehört, die genau
dem System-Tipp entsprechen oder ob er aus zufällig zusammengestellten Zahlen besteht.
Zum Beispiel beträgt ja die Gewinnwahrscheinlichkeit für 3 Richtige plus richtige Superzahl pro Einzel-Tipp 1 : 566,56. Das bedeutet, dass man mit einem Einzel-Tipp
im Mittel alle 566,56 Ziehungen in dieser Gewinnklasse gewinnt, egal, ob er zu einem System-Tipp gehört oder nicht! Und da jeder Einzel-Tipp ganz für sich alleine gewinnt,
gewinnen Sie mit 100 Einzel-Tipps im Mittel alle 5,6656 Ziehungen in dieser Gewinnklasse.
Nur auf die mittlere Anzahl der Gewinne kommt es an! Sie ist entscheidend!
Es gibt aber einen wichtigen Unterschied zwischen zufälligen Einzel-Tipps und System-Tipps, von dem sich viele System-Spieler blenden lassen. Wenn beim System-Tipp
ein darin enthaltener Einzel-Tipp gewinnt, gewinnen gleichzeitig auch viele andere Einzel-Tipps dieses System-Tipps, weil die Tipps ja nahe miteinander "verwandt" sind.
Beim einem System-Tipp fallen die Gewinne also gehäuft an, während sie bei zufälligen Einzel-Tipps gleichmäßig verstreut sind.
Aber die mittlere Anzahl der Gewinne (über die Zeit, also über viele Ziehungen) ist in beiden Fällen exakt gleich!
Auf diese Häufung fallen viele System-Spieler herein. Sie glauben, dass durch die Häufung der Gewinne im Mittel auch mehr Gewinne vorkommen. Ein krasser Irrglaube!
Man kann sich das auch mit einem extremen Beispiel klarmachen. Man tippt einmal 10 Einzel-Tipps mit jeweils exakt denselben Zahlen. Das entspricht sozusagen
einem extremen System-Tipp. Und dann tippt man 10 Einzel-Tipps mit jeweils zufälligen Zahlen. Bei den 10 identischen Einzel-Tipps muss man im Mittel 10-mal
so lange warten, bis man gewinnt. Dafür bekommt man aber auch 10 Gewinne auf einmal. Die mittlere Anzahl der Gewinne ist also in beiden Fällen gleich!
Allerdings kann man mit der richtigen Tipp-Strategie überdurchschnittliche Lottoquoten erzielen, indem man die Lottozahlen tippt, die bei den meisten Mitspielern unbeliebt sind.
Leider kommt man trotzdem im Mittel nicht in die Gewinnzone. Nur 50% der Einnahmen werden ja wieder ausgeschüttet. Und diesen Verlust kann man auch mit dieser Strategie
nicht ausgleichen! Man kann ihn nur verringern.
| 6 R. mit Superzahl: | 0,1 · (66) · (430) / (496) | = 1 / 139838160 | = 1 : 139838160 | = 0,000001% |
| 6 R. ohne Superzahl: | 0,9 · (66) · (430) / (496) | = 9 / 139838160 | = 1 : 15537573 | = 0,000006% |
| 6 Richtige: | (66) · (430) / (496) | = 1 / 13983816 | = 1 : 13983816 | = 0,000007% |
| 5 R. mit Superzahl: | 0,1 · (65) · (431) / (496) | = 258 / 139838160 | = 1 : 542008,37 | = 0,000184% |
| 5 R. ohne Superzahl: | 0,9 · (65) · (431) / (496) | = 2322 / 139838160 | = 1 : 60223,152 | = 0,001660% |
| 5 Richtige: | (65) · (431) / (496) | = 258 / 13983816 | = 1 : 54200,837 | = 0,001845% |
| 4 R. mit Superzahl: | 0,1 · (64) · (432) / (496) | = 13545 / 139838160 | = 1 : 10324,0 | = 0,010% |
| 4 R. ohne Superzahl: | 0,9 · (64) · (432) / (496) | = 121905 / 139838160 | = 1 : 1147,11 | = 0,087% |
| 4 Richtige: | (64) · (432) / (496) | = 13545 / 13983816 | = 1 : 1032,40 | = 0,097% |
| 3 R. mit Superzahl: | 0,1 · (63) · (433) / (496) | = 246820 / 139838160 | = 1 : 566,56 | = 0,177% |
| 3 R. ohne Superzahl: | 0,9 · (63) · (433) / (496) | = 2221380 / 139838160 | = 1 : 62,951 | = 1,589% |
| 3 Richtige: | (63) · (433) / (496) | = 246820 / 13983816 | = 1 : 56,656 | = 1,765% |
| 2 R. mit Superzahl: | 0,1 · (62) · (434) / (496) | = 1851150 / 139838160 | = 1 : 75,541237 | = 1,324% |
| 2 R. ohne Superzahl: | 0,9 · (62) · (434) / (496) | = 16660350 / 139838160 | = 1 : 8,3935 | = 11,914% |
| 2 Richtige: | (62) · (434) / (496) | = 1851150 / 13983816 | = 1 : 7,5541 | = 13,238% |
| 1 R. mit Superzahl: | 0,1 · (61) · (435) / (496) | = 5775588 / 139838160 | = 1 : 24,212 | = 4,130% |
| 1 R. ohne Superzahl: | 0,9 · (61) · (435) / (496) | = 51980292 / 139838160 | = 1 : 2,6902 | = 37,172% |
| 1 Richtiger: | (61) · (435) / (496) | = 5775588 / 13983816 | = 1 : 2,4212 | = 41,302% |
| 0 R. mit Superzahl: | 0,1 · (60) · (436) / (496) | = 6096454 / 139838160 | = 1 : 22,938 | = 4,360% |
| 0 R. ohne Superzahl: | 0,9 · (60) · (436) / (496) | = 54868086 / 139838160 | = 1 : 2,5486 | = 39,237% |
| 0 Richtige: | (60) · (436) / (496) | = 6096454 / 13983816 | = 1 : 2,2938 | = 43,596% |
| mind. 3 Richtige: | (1+258+13545+246820) / (496) | = 260624 / 13983816 | = 1 : 53,655 | = 1,864% |
| mind. 2 R. mit SZ: | (185115 + 260624) / (496) | = 445739 / 13983816 | = 1 : 31,372 | = 3,188% |
| mind. 1 Richtigen: | ((496) – (436)) / (496) | = 7887362 / 13983816 | = 1 : 1,7729 | = 56,404% |
Die Wahrscheinlichkeiten für z.B. 3 Richtige gelten für den Fall, dass die Superzahl keine Rolle spielt.
Formeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und Möglichkeiten bei Lotto 6 aus 49 findet man auf
der Web-Seite mit den Stochastik-Formeln (Beispiele 1, 3, 5, 21 und 22). Im Beispiel 21 wird u.a.
die Wahrscheinlichkeit ausgerechnet, dass bei einer Lottoziehung eine Serie von 5 aufeinanderfolgenden Lottozahlen gezogen wird.
Bisher gab es zwei Fälle dieser Art: Am 10.4.1999 (Lottozahlen: 2, 3, 4, 5, 6 und 26) und am 30.7.2014 (Lottozahlen: 9, 10, 11, 12, 13 und 37).
Am Ende der Web-Seite Geburtstag am gleichen Tag wird ausgerechnet, nach wie vielen
Ziehungen bei Lotto 6 aus 49 die Wahrscheinlichkeit zum ersten Mal größer als 50% ist, dass mindestens einmal bei zwei Ziehungen die gleichen
6 Zahlen gezogen worden sind oder dass sogar mindestens einmal in zwei direkt aufeinander folgenden Ziehungen die gleichen
6 Zahlen gezogen worden sind. Den ersten Fall hat es in Deutschland tatsächlich schon zweimal gegeben.
Die Gewinnchancen und die theoretischen Gewinnquoten für europäische Lotto-Spiele findet man auf den Web-Seiten
EuroJackpot und EuroMillions. Allerdings erfüllen
diese beiden Lotto-Spiele nicht alle oben aufgestellten Kriterien.
Zum Schluss noch eine sehr interessante Frage zu Lotto 6 aus 49:
Wie viele Lottofelder muss man bei optimal verteilten Zahlen mindestens ankreuzen, um bei einer Ziehung mindestens einmal
6 Richtige, 5 Richtige, 4 Richtige usw. zu erzielen?
Erstaunlich ist, dass diese Mindestanzahl an Lottofeldern bisher nur für 6 Richtige und für 1 Richtigen bekannt ist.
Bisher ist es nicht gelungen, die minimale Anzahl der Lottofelder zu bestimmen, die bei geschicktem Ausfüllen mindestens 5, 4, 3 oder 2 Richtige garantieren:
6 Richtige: Man muss mindestens 13.983.816 Lottofelder ausfüllen.
Alle 13.983.816 Lotto-Kombinationen müssen genau einmal vorkommen, um immer genau einmal 6 Richtige zu erzielen.
Dafür braucht man 13.983.816 Lottofelder.
5 Richtige: Die Mindestanzahl der auszufüllenden Lottofelder ist auf jeden Fall größer oder gleich 53.992 und kleiner oder gleich 1.712.304.
Die Zahl 53.992 ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeit für mindestens 5 Richtige von 1 : 53.991,57.
Bei mindestens 5 Richtigen reicht auf jeden Fall eine Anzahl von 1.712.304 Lottofeldern, die gleich der Anzahl der Kombinationen von 5 aus 48 ist.
4 Richtige: Die Mindestanzahl der auszufüllenden Lottofelder ist auf jeden Fall größer oder gleich 1014 und kleiner oder gleich 6452.
Die Zahl 1014 ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeit für mindestens 4 Richtige von 1 : 1013,03.
Mit diesen 6452 geschickt ausgefüllten Lottofeldern erzielt man immer mindestens einmal 4 Richtige.
3 Richtige: Die Mindestanzahl der auszufüllenden Lottofelder ist auf jeden Fall größer oder gleich 85 und kleiner oder gleich 163.
Mit diesen 163 geschickt ausgefüllten Lottofeldern erzielt man immer mindestens einmal 3 Richtige.
2 Richtige: Die Mindestanzahl der auszufüllenden Lottofelder ist auf jeden Fall größer oder gleich 8 und kleiner oder gleich 19.
Bei einer Ziehung werden ja 43 Lottozahlen nicht gezogen. Man muss also mindestens 45 verschiedene Lottozahlen auf die Lottofelder verteilen,
um eventuell mindestens zwei Richtige zu erzielen. Dafür braucht man 8 Lottofelder.
Mit diesen 19 geschickt ausgefüllten Lottofeldern erzielt man immer mindestens einmal 2 Richtige.
1 Richtiger: Man muss mindestens 8 Lottofelder ausfüllen.
Bei einer Ziehung werden ja 43 Lottozahlen nicht gezogen. Man muss also mindestens 44 verschiedene Lottozahlen auf die Lottofelder verteilen,
um mindestens eine Lottozahl richtig zu haben. Dafür braucht man mehr als 7 Lottofelder. 8 Lottofelder reichen aber immer.
Copyright © Werner Brefeld (1999; Originalquelle)