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Primzahlen, Teilbarkeit und die Zahl 24
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7. Man nehme eine Primzahl größer als 3, multipliziere sie mit sich selbst und ziehe 1 davon ab. Warum ist das Ergebnis immer ohne Rest durch 24 teilbar?
Vermindert man das Quadrat einer Primzahl p um 1, so kann auf das entstehende Ergebnis Z die dritte binomische
Formel angewendet werden und Z lässt sich als Produkt von zwei Faktoren in folgender Weise darstellen:
Z = p2 – 1 = (p – 1) · (p + 1)
Da nur Primzahlen p genommen werden dürfen, die größer als 3 sind, muss p immer ungerade sein, da die einzige
gerade Primzahl die 2 ist.
Deshalb muss der erste Faktor (p – 1) gerade sein. Z ist also immer ohne Rest durch 2 teilbar.
Ebenso muss auch der zweite Faktor (p + 1) gerade sein. Deshalb ist Z sogar ohne Rest durch 4 teilbar.
Die Faktoren (p – 1) und (p + 1) sind benachbarte gerade Zahlen. Da jede zweite gerade Zahl durch 4 teilbar ist,
muss einer der beiden Faktoren durch 4, der andere durch 2 teilbar sein. Das Ergebnis Z ist also sogar ohne Rest
durch 8 teilbar.
Die Zahlen (p – 1), p und (p + 1) folgen direkt aufeinander. Von drei aufeinanderfolgenden Zahlen
ist immer eine durch 3 teilbar. Entsprechend der Aufgabe muss die Primzahl p aber größer als 3 sein und kann
deshalb nicht durch 3 teilbar sein. Dann muss einer der beiden verbleibenden Ausdrücke (p – 1) oder (p + 1)
durch 3 teilbar sein. Da das Ergebnis Z das Produkt dieser beiden Ausdrücke ist, muss Z folglich auch
durch 3 und deshalb insgesamt sogar ohne Rest durch 24 teilbar sein.
Die kleinste Primzahl größer als 3 ist die 5. Für sie ist Z = p2 – 1 = 24. Das bedeutet, dass 24 auch
die größte Zahl ist, durch die Z immer ohne Rest geteilt werden kann.
Was ist verblüffend an diesem Mathematik-Rätsel? Intuitiv glauben viele nicht, dass man aus praktisch allen Primzahlen
auf so einfache Weise Zahlen erzeugen könne, die alle durch die hochzusammengesetzte Zahl 24 teilbar sind.
Es sollte aber noch erwähnt werden, dass die oben bewiesene Aussage nicht nur für Primzahlen größer als 3 gilt, sondern
für alle weder durch 2 noch durch 3 teilbaren natürlichen Zahlen. Die kleinste derartige Zahl ist die 25, weil
25 · 25 – 1 = 624 durch 24 teilbar ist. Die Zahlen, die sich hier beim Teilen durch 24 ergeben,
sind übrigens die verallgemeinerten Fünfeckszahlen.
Die Web-Seite Primzahlen, Teilbarkeit und die Zahl 240 beschreibt ein eng
verwandtes, aber schwierigeres Mathematikrätsel.
Referenz: Mathematik-Olympiade, Aufgabe 360922
Copyright © Werner Brefeld (2005)