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Primzahlen, Teilbarkeit und die Zahl 240
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8. Man nehme eine Primzahl größer als 5, multipliziere sie mit sich selbst, das Ergebnis auch, und ziehe dann 1 davon ab. Warum ist das Endergebnis immer ohne Rest durch 240 teilbar?
Laut Aufgabe soll eine Primzahl p viermal mit sich selbst multipliziert und das Ergebnis um 1 vermindert werden.
Das so entstehende Resultat Z lässt sich nach der dritten binomischen Formel als Produkt von zwei Faktoren darstellen:
Z = p4 – 1 = (p2 – 1) · (p2 + 1)
Die dritte binomische Formeln kann dann nochmals auf den ersten der beiden Faktoren angewendet werden, so dass sich
der folgende aus drei Faktoren bestehende Ausdruck für das Ergebnis ergibt:
Z = (p – 1) · (p + 1) · (p2 + 1)
Da nur Primzahlen genommen werden dürfen, die größer als 5 sind, muss p immer ungerade sein, da die einzige
gerade Primzahl die 2 ist.
Deshalb muss der erste Faktor (p – 1) gerade sein. Z ist also immer ohne Rest durch 2 teilbar.
Ebenso muss auch der zweite Faktor (p + 1) gerade sein. Deshalb ist Z sogar ohne Rest durch 4 teilbar.
Die Faktoren (p – 1) und (p + 1) sind benachbarte gerade Zahlen. Da jede zweite gerade Zahl durch 4 teilbar ist,
muss einer der beiden Faktoren durch 4, der andere durch 2 teilbar sein. Das Ergebnis Z ist also sogar ohne Rest
durch 8 teilbar.
Die Zahlen (p – 1), p und (p + 1) folgen direkt aufeinander. Von drei aufeinanderfolgenden Zahlen
ist immer eine durch 3 teilbar. Entsprechend der Aufgabe muss die Primzahl p größer als 5 sein und kann
deshalb nicht durch 3 teilbar sein. Dann muss einer der beiden verbleibenden Ausdrücke (p – 1) oder (p + 1)
durch 3 teilbar sein. Da im Ergebnis Z diese beiden Ausdrücke als Faktoren auftauchen, muss Z folglich auch
durch 3 und deshalb sogar ohne Rest durch 24 teilbar sein.
Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist immer ungerade. Deshalb muss der dritte Faktor (p2 + 1) immer
gerade sein. Z ist also nochmals durch 2 und damit ohne Rest durch 48 teilbar.
Primzahlen, die größer als 5 sind, können als Endziffer nur eine 1, 3, 7 oder 9 haben, weil sie sonst entweder
gerade wären oder durch 5 teilbar.
Ist die Endziffer der Primzahl p eine 1, dann ist der erste Faktor (p – 1) durch 5 teilbar.
Ist die Endziffer der Primzahl p eine 3 oder eine 7, dann hat das Quadrat der Primzahl als Endziffer eine 9 und
der dritte Faktor (p2 + 1) ist durch 5 teilbar.
Ist die Endziffer der Primzahl p eine 9, dann ist der zweite Faktor (p + 1) durch 5 teilbar.
Einer der drei Faktoren von Z ist also immer durch 5 teilbar.
Folglich ist das Endergebnis Z auch immer durch 5 und damit insgesamt
ohne Rest durch 2 · 2 · 2 · 3 · 2 · 5 = 240 teilbar.
Die kleinste Primzahl größer als 5 ist die 7. Für sie ist Z = p4 – 1 = 2400 = 2 · 5 · 240.
Für die nächste Primzahl, die 11, ist das Ergebnis 14.640 = 61 · 240, wobei außer 240 alle Faktoren Primzahlen sind.
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von 2400 und 14.640 ist also 240. Das bedeutet, dass 240 auch die größte Zahl ist, durch
die Z immer ohne Rest geteilt werden kann.
Was ist verblüffend an diesem Mathematik-Rätsel? Intuitiv glauben viele nicht, dass man aus praktisch allen Primzahlen
auf so einfache Weise Zahlen erzeugen könne, die alle durch die hochzusammengesetzte Zahl 240 teilbar sind.
Es sollte aber noch erwähnt werden, dass die oben bewiesene Aussage nicht nur für Primzahlen größer als 5 gilt, sondern
für alle weder durch 2, 3 oder 5 teilbaren natürlichen Zahlen.
Das obige Mathematikrätsel kann man auf folgende Weise erweitern:
Man nehme eine Primzahl größer als 5, multipliziere sie mit sich selbst, das Ergebnis auch, das dann entstehende Ergebnis
noch einmal und ziehe dann 1 davon ab. Warum ist das Endergebnis immer ohne Rest durch 480 teilbar? Der Beweis geht fast
genau so wie oben. Hier geht es um die Zerlegung von p8 – 1:
p8 – 1 = (p – 1) · (p + 1) · (p2 + 1) · (p4 + 1)
Die ersten drei Faktoren sind die gleichen wie oben. Der letzte Faktor (p4 + 1) muss immer gerade und damit
durch 2 teilbar sein. Deshalb verdoppelt sich die Zahl, durch die geteilt werden kann, auf 480.
Für die Primzahlen 7 bzw. 11 ist p8 – 1 gleich 5.764.800 = 2 · 5 · 1201 · 480 beziehungsweise
214.358.880 = 61 · 7321 · 480. Der größte gemeinsame Teiler (ggT) dieser beiden Zahlen ist 480, weil außer 480
alle Faktoren Primzahlen sind. Das bedeutet, dass 480 auch die größte Zahl ist, durch die immer ohne Rest geteilt
werden kann.
Die Web-Seite Primzahlen, Teilbarkeit und die Zahl 24 beschreibt ein eng
verwandtes, aber einfacheres Mathematikrätsel.
Copyright © Werner Brefeld (2005)